Bun? seara!

Ce înseamn? ?i mai ales care sunt asem?n?rile ?i deosebirile dintre

o axiom?
un postulat
un principiu

?

Mul?umesc.

P.S. Am postat aceasta deoarece DEX-ul nu prea le distinge, le define?te pe toate ca fiind punctul de plecare al unui sistem logic deductiv, care este acceptat f?r? demonstra?ie, fiind adev?rate prin sine.

Pai o axioma este ceva ce nu se demonstreaza, se accepta asa.

Exemplu: Prin 2 puncte distincte trece o dreapta si numai una.

Ea nu se demonstreaza.


copy/paste wikipedia:


Axioma provine din limba greaca si inseamna: "care este considerat evident prin sine însu?i/de la sine", "opinie", "tez? admis?". Ini?ial, axiomele au fost propozi?ii (enun?uri) ale c?ror adev?r era socotit evident, adev?r care î?i avea originea în practic?. Pentru unii filosofi greci din antichitate, reprezenta o afirma?ie considerat? ca fiind evident?, ?i care nu mai trebuia dovedit?. Cuvântul provine din ??????? (axioein), care înseamn? "a considera demn", care, la rândul s?u, provine din ????? (axios), care înseamn? "demn".

Despre celelalte nu pot sa ma pronunt.. vor raspunde profesorii care sunt avizati.
La axioma mi-am permis sa dau copy/paste de pe wikipedia pentru ca stiam ce inseamna, iar ce am copiat de pe wikipedia am citit si am socotit ca e corect ( dupa parerea mea )

Totusi asteptam opiniile "celor vechi".

Mul?umesc, citisem ?i eu asta, dar m? interesa mai mult o compara?ie, pentru c?, dup? cum am scris, DEX-ul le socote?te sinonime. Deci ce ai citat tu "cic?" ar fi valabil pentru toate 3, ca sens.

O sa ma uit oleaca prin manualele de mate.
Gasesc ceva te anunt .

Nici din vechea cetate nu se afla mai multe.
Eu am ignorat mereu in matematica partea de terminologie, pentru mine existau doar chestii si fente.

Scriu acestea doar fiindca suntem pe un forum.

Totusi, pentru a face ceva lumina, formulez cateva propozitii.
Pe clasa a VI-a sau a VIII-a - si asa nu mai conteaza - am avut la clasa o discutie asemanatoare. Eu faceam parte din clasa "B", cea mai slaba, asa ca era semnificativ faptul ca cineva deschide gura in scopul de a vorbi. Totusi, din motive evidente, la asa ceva nu am deschis gura. Mai tarziu am regretat, pentru ca in ziua aceea, invatatoarea (fiind oricum intotdeauna pe faza, dar atunci chiar pregatita pentru clasa "A"), mi-ar fi corectat prin reformulare mai buna parerea. Ei bine, atunci am fost de unica parere ca in matematica exista doar teoreme. Anume lucrurile ce pot fi demonstrate si sunt un fel de pietre de hotar. Desigur, putem face zid chinez din ele, una langa alta, dar pentru un matematician ajunge daca e la o piatra de hotar sa o vada pe urmatoarea. Lucrurile adevarate care se pot afirma si demonstra dintre cele doua pietre sunt si ele "teoreme", dar din motiv de economie a hartiei de pe creier, nu cumparam si cartea cu ele.
Celelalte cuvinte puteau fi astfel taiate din dictionar.

Mai tarziu, am ajuns la concluzia ca dintre "teoreme" unele sunt chiar "simplu" de scos din altele, sau ca sunt un fel de popasuri la drumul mare. Lumea le numeste propozitii. De cele mai multe ori ele sunt bune pentru cei ce si-au uitat ochelarii acasa si de la o piatra de hotar nu o mai vad pe urmatoarea.

In liceu ne-au terminat de la o vreme cu leme. Niste lucruri simple, ieseau din nu stiu ce teorema si oamenii le foloseau asa, nu teorema, pentru ca teorema era uneori prea generala iar omul vroia sa aplice ceva mura-n gura. Ei bine, cand un lucru sta prea des in cale, desi nu-i piatra de hotar, oamenii ii zic piata, forum, intersectie in parc printre scurtaturi care merg pe iarba uda si noroi... In matematica astea sunt leme. Pe pagina asta, unu Titu face ravagii la mod de aplicat mura-n gura. El stiga ceva in gura mare, ce stiau de fapt Cauchy si Schwarz si au si scris cu secole inainte, dar lumea prefera sa inceapa cu ce a strigat Titu, ca problemele se compun si rezolva mai usor de la Titu. Ei bine, un astfel de rezultat ar putea fi numit "Lema lu' Titu".

Pe la facultate, au inceput oamenii sa mearga si inapoi, nu numai inainte. Asta in matematica, ca in rest era oricum clar. Cu alte cuvinte, cine merge inainte, ia un grup, studiaza proprietati interesante, scurile, identifica clase speciale de grupuri care au o proprietate interesanta, le descompune, taie in bucati, studiaza in detaliu, etc. Ei bine, cei ce merg "inapoi" (din punctul lor de vedere "inainte") se intreaba ce e un grup. ("Ciot de filozof" ar zice astia la rebus, cu solutia OF!) Pai e o multime... zice omul de rand si nici n-a zis bine se trezeste cu intrebarea "Ce e o multime?" Cei dintre noi care au copii mici cunosc jocul... Ei bine, cand nimeni nu mai vrea sa le raspunda, cand oamenii astia care merg in "inaintea lor" si "se apropie de Dumnezeu" definind clase, elemente, proprietati, predicate... si cand s-au saturat si ei, ceea ce formuleaza ei se numesc axiome. Pentru omul de rand ele pot fi luate ca "fundament". Comparatii? Ele sunt un fel de dogme din teologie un fel de ordine date de parinti copiilor sau un fel de codex din militarie.
In teologie asa ceva este de exemplu "Exista exact un Dumnezeu", dar cu alte cuvinte.
In educatia copiilor, o axioma ar fi "Taci! Ti-am spus sa taci! Sa nu deschzi gura toata ziua! Dar unde suntem aici ca toti sa strige ce... Taci! Sa nu ma intrerupi! De ce ma intrerupi! Las' ca mai pui tu... (dupa o jumatate de ora) Taci! Fa bine o data si taci! Gata!"
In matematica se gasesc lucruri ciudate de forma: O clasa A este o multime daca A nu este element in A". (Sigur va place si daca sunteti tentata/tentat sa intrebati ce este o clasa... fie va recomand filozofia, fie va sugerez ca raspunsul e o scoala intreaga.)

No, acum si axiomele astea difera de la o matematica la alta.
Da exista mai multe matematici. Exista oameni care fac forme modulare si se uita la partea strict superioara a planului complex impreuna cu punctele rationale de pe axa reala (numite cuspidale). Ei considera ca o dreapta (hiperbolica) de la un astfel de punct cuspidal la altul este un semicerc (euclidian) ortogonal axei reale in aceste puncte. Lume frumoasa. Acesti oameni lucreaza intr-o geometrie hiperbolica si calculeaza distantele prin integrare pe contururi curbilinii. O fericire. Doar asa pot apare numere complicate, spre bucuria celor ce le studiaza.

Ca sa se deosebeasca de aceasta fractiune de dusi cu realitatea, geometrii care se respecta se declara "euclidieni" asa cum se declara oamenii ortodocsi sau catolici sau holtei. Ei sustin sus si tare ca printr-un punct (definit cum trebuie de cei cu mersul "inainte" intr-un cadru axiomatic simplu ce foloseste doar multimi si proprietati de incidenta si apartenenta si ...) se poate duce exact o dreapta. Aceasta axioma o numesc acesti euclidieni axioma de baza a geometriei euclidiene. Totusi, tot asa cum in lumea normala intre cei holtei sunt unii foarte patrunsi de zen, cei neeuclidieni din matematica se considera ofensati ca cineva apeleaza drept "axioma" un lucru "atat de particular", care restrange lumea doar la lumea banala, asta in care traim noi de exemplu. Acesti neeuclidieni vor apela aceasta propozitie drept "postulatul geometriei euclidiene" in cel mai buna caz.

Dar de obicei, postulat este un fel de teorema care esta atat de gaurita de molii incat nu mai vrea sa o poarte nimeni. Totusi, cine o poarta se simte foarte mandru / mandra de acest lucru.

Ar mai fi chestia cu principiul.
Exemple proaste de principii sunt:
(1) principiul inductiei matematice - care este o reformulare a axiomelor lui Peano pentru multimea numerelor naturale asa cum o stim noi. (Pe scurt... IN este ceva excelent pentru cei ce merg "inainte". Constructia axiomatica a lui IN este cam urmatoarea:

Axioma:
Exista o IN cu un element 0 si cu o aplicatie s (citit "succesor" pentru cei curiosi) cu proprietatile:
s : |N -> |N
s este injectiva
s(0) nu este 0 (nu este in mod normal in lista, dar eu o scriu ca sa scap de cele din lista ce evita finitudinea)
...
Proprietate esentiala : Daca A este o multime cu [0 este in A] si [s(A) contine A] atunci A=IN.

Ei bine, exact ultima proprietate (axioma) este ceea ce la scoala se numeste (usor schimband cadrul) principiul inductiei matematice.
De fapt, terminologia difera de la context la context. Lucru oribil pentru DEX, care satisface gustul rebusistilor in primul rand. (Si al elevilor in ultimul.)

(2) Principiul includerii si al excluderii. Acest principiu este de fapt o lema / teorema din combinatorica, daca stam si judecam dupa gustul meu. Dar oamenii nu stiu sa scrie exact enuntul in cazul general, asa cum se vede usor la clasa. Fiecare are o versiune a acesui principiu, de obicei cea cu doua multimi. Cand omul vrea sa-si aminteasca forma generala, mai incearca sa deseneze diagrame Euler-Venn cu trei multimi... Mult se enerveaza de faptul ca nu stiu daca e o formula pentru numarat elementele dintr-o reuniune sau dintr-o intersectie de mai multe multimi cunoscand... Ei bine, fiindca oamenii nu stiu care e forma exacta, dar stiu despre ce e vorba, ei inclina sa vorbeasca despre un principiu. Lucrul acesta este in contrast complet cu gustul meu, deoarece si trezit noaptea din somn stiu ce stie orice olimpic roman trecut de clasa a X-a, anume formula pe de rost si cam pentru ce cazuri trebuie folosita.

Un principiu din matematica care-si merita numele de principiu este principiul lui K"ocher, dar mi-e greu sa spun ce spune. In mare, spune ca o anumita propozitie de culoarea geometriei algebrice are loc pentru corupuri algebric inchise de caracteristica zero daca si numai daca propozitia respectiva are loc pentru corpul numerelor complexe. Ei bine, aici imi merge si mie cu corpurile inchise de caracteristica zero cum ii merge pictorului cu principiul includerii si excluderii. De aceea, desi stiu cum se demonstreaza afacerea si desi stiu teroreme de structura pentru corpurile in cauza, faptul ca nu am vazut cu ochii decat unul...

Un exemplu prozaic, dar mai la tema, de principiu din matematica este principiul reducerii la absurd. E clar, sper, ca principiul acesta este un fel de ghid de comportament, ca si cum am pomeni pentru Romania ca principiu "Sa nu mai furam, oameni buni!" Tot asa si in matematica, rareori nu se poate demonstra si direct...

Un exemplu ceva mai bun de principiu (de reducere la absurd) este principiul "descinderii infinite" (infinite descent, unendlicher Abstieg) folosit de grecii antici pentru a vedea ca numarul radical din doi nu e rational, respectiv de catre Fermat pentru a demonstra ca daca o anumita ecuatie diofantica are o solutie, atunci mai are si alta "de o masura mai mica", deci inca una "de o masura si mai mica", deci... dar ho, candva nu mai e loc in Romania asta de furat, candva s-au terminat toate de furat, candva ramane doar speranta fada de a ne imprumuta de la greci sau de la congolezi, ei bine, tot asa si in numerele naturale, mai jos de zero nu se poate...
Principiul acesta este un fel de calauza, i se spune omului, nu-i nimic, tu stii ca nu e nici o solutie, dar presupui ca e una, faci fente in stanga si dreapta, te invarti, te pui bine cu unu, cu altu, ii aranjezi pe toti si dai la sfarsit de o solutie si mai simpla, care daca ar exista... Ar trebui sa ne fie cunoscut acest principiu...

Scuze ca va spun, dar parerea mea e ca ati cam umplut subiectul de singe. Asta in primul rind din cauza raspunsului foarte lung si greu de urmarit, in ciuda faptului ca intrebarea principala cerea niste definitii si asemanari/deosebiri intre cele 3 concepte.

Exemplele dvs nu spun ca nu sint binevenite, dar poate era mai utila o oarecare rigoare stiintifica.

In fine, din mica mea experienta, as putea sa incerc sa formulez ce am inteles din aceste concepte.

Axioma este baza unei gindiri logice (deductive), o afirmatie general valabila si imposibil de demonstrat in interiorul sistemului respectiv. Ea este primitiva, pentru ca nu exista alte preliminarii care ar putea-o implica.

Postulatul este specific stiintelor care au si o parte experimentala (fizica, chimie) si exprima un adevar confirmat de toate experimentele (de pina atunci) si care nu poate fi infirmat nici teoretic, tot din cauza unei oarecare primitivitati - (pare ca) exprima un adevar de baza.

Acum despre principiu nu stiu ce sa zic prea clar. Imi pare a fi un adevar de baza, dar care ar putea fi si dovedit din premise. Ma gindesc la principiul de incertitudine din mecanica cuantica sau principiul inductiei matematice - ambele dovedibile. Despre principiul bunei ordonari, de pilda, nu stiu ce sa spun.

Inchei, cu respect pt d. Gauss si nu numai. N-am intentionat sa va corectez, doar am expus parerile mele.

Scuzele sunt desigur de partea mea.
Incerc sa fiu la obiect.

In matematica nu sunt definite cele cateva notiuni, ci doar folosite. Folosirea lor are uneori context dublu.

Axiomele unei parti matematice sunt lucruri luate drept fundamentale, baza de argumentare, un fel de atomi metafizici. Matematicienii au grija ca aceste axiome sa fie economic formulate si neredundande.

Totusi, in un ele parti ale globului, oamenii vorbesc despre "axiomele grupului" ca sa apeleze cele cateva proprietati din definitia unui grup. (De exemplu asociativitatea...)
Axioma de baza a geometriei euclidiene este cea ce separa aceasta geometrie de altele. Deci o axioma poate avea validitate doar pentru o parte de matematica.

Axiomele se iau ca punct de plecare. Ele sunt in acest sens o baza a ceea ce se poate deduce din ele. (Dar stict vorbind nu si o baza a unui sistem deductiv. Filozofii sunt foarte stricti in acest sens.)
Abia dupa ce avem axiome avem un sistem de propozitii compatibile si demonstrabile de aici. (Desigur ca fiecare axioma se demonstreaza intr-o linie in sistemul dat.)
Axiomele nu sunt ceva indestructibil, uneori sunt oameni care le sparg in bucati si le reformuleaza, inlocuiesc o axioma cu alta. (Se tot intampla de la secol la secol...) Un exemplu bun este axioma alegerii. Ea este echivalenta (intr-un anumit sistem dat) cu multe alte propozitii (de o natura foarte diferita chiar) in sensul ca inlocuind-o cu fiecare dintre acestea in cadrul aceluiasi sistem

---

Un postulat este in matematica strict vorbind o axioma.
Totusi, unii autori folosesc acest cuvant si cu sensul de teorema (de baza).
(In filozofie, un postulat este un fel de afirmatie, teza, punct de plecare, care sta implicit la discutie, care poate fi acceptat sau nu. Cel ce ii spune postulat il accepta deja, dar nu vrea sa-i converteasca neaparat si pe ceilalti. Axiomele din matematica ce nu sunt general valabile pentru toata matematica sunt numite uneori postulate. Asta doar dupa modul cum simt eu ca stau lucrurile.)

---

Un principiu din matematica este probabil o reformulare nematematica a unui rezultat de baza (des folosibil intr-un context specific), astfel incat aplicarea sa fie directa. (Asa ceva se deosebeste de un principiu din fizica, filozofie sau etica.)
- principiul reducerii la absurd este reformularea lucrului urmator:
(p=>q) => (non(q)=>non(p))
(In forma de mai sus nu gandeste nimeni.) Pentru ca asa ceva sa fie adevarat trebuie sa traim intr-o logica in care exista doar adevarat si fals.
- principiul inductiei matematice este reformularea axiomelor lui Peano (ceva ce in filozofie a fost facut cumva de Tomas Quintus / Toma d'Aquino..)
- principiul includerii si al excluderii este o teorema din combinatorica.

OK, mul?umesc, este mult mai clar a?a ?i într-o oarecare m?sur? se confirm? ceea ce credeam eu despre aceste no?iuni.

Ast?zi am s? întreb ?i un fizician teoretician (care mai este ?i pasionat de lingvistic?) ?i am s? v? comunic ?i r?spunsul dumnealui, dac? intereseaz? pe cineva sau dac? este relevant.

[Citat] OK, mul?umesc, este mult mai clar a?a ?i într-o oarecare m?sur? se confirm? ceea ce credeam eu despre aceste no?iuni. Ast?zi am s? întreb ?i un fizician teoretician (care mai este ?i pasionat de lingvistic?) ?i am s? v? comunic ?i r?spunsul dumnealui, dac? intereseaz? pe cineva sau dac? este relevant.

A?adar, ce am aflat azi: axioma ?i postulatul sunt cam acela?i lucru, numai c? axioma este preferat? de matematicieni sau de fizicieni excesiv de riguro?i, iar principiul este o afirma?ie care are ?i un substrat practic, experimental, aplicativ. Cam a?a mi-a r?spuns.

Mul?umesc ?i d. Gauss ?i mai a?tept p?reri de la logicieni sau filosofi dac? se întîmpl? s? apar? pe aici.