Nu am reusit sa rezolv suma de mai sus :|

k^4 l-am scris ca k^4 - 1 + 1 = (k^2 - 1)(k^2 + 1) + 1 am descompus dupa aceea in doua sume si nu am mai reusit sa fac nimic..

Va multumesc mult !!

P.S. : Nu am reusit sa o rezolv, adica nu am reusit sa o calculez. Sa o demonstrez prin inductie am demonstrat-o usor, sa o calculez nu am reusit !

Sunt 2 metode. Cea standard este cea care foloseste identitatea

care se insumeaza pentru

Daca stim ca vrem sa demonstram

si stim (sau nu) cam ce e inductia matematica, este clar ca ajunge sa calculam (de la coada la cap):

Odata ce am demonstrat aceasta relatie, o putem folosi intr-un truc telescopic...

De unde putem face rost de asa ceva?
Fie calculam inductiv ca mai sus, fie stim ceva de polinoame Bernoulli, fie luam ce au implementat unii (fie asa, fie asa...) si tiparim doar:

sage: sum( k^4, k, 1, n )
1/5*n^5 + 1/2*n^4 + 1/3*n^3 - 1/30*n
sage: sum( k^4, k, 1, n ) . factor()
1/30*(n + 1)*(2*n + 1)*(3*n^2 + 3*n - 1)*n

A doua metoda: calculam numarul de sisteme ordonate

cu proprietatea

Pentru

fixat intre 1 si n, fiecare dintre numerele a,b,c,d poate fi ales in e moduri, deci avem

astfel de sisteme.
Insumand, numarul tuturor sistemelor va fi

Pe de alta parte, putem numara sistemele combinatorial.

Mai intai, sisteme in care

sunt distincte. Putem alege 5 numere distincte intre 0 si n+1 in

moduri.Desigur, cel mai mare dintre ele va fi e, dar celelalte se pot pemuta in

moduri, asadar avem

astfel de sisteme.

Continuand analiza, vom obtine in final, ca numarul de astfel de sisteme este