1. Daca n este nr. natural, aflati ultimele doua cifre ale numarului

P=

.


2.Fie

a) Aflati restul impartirii lui A la 35.
b) Determinati nr. de zerouri in care se termina A.

La 1) Se poate arata ca ultimele 2 cifre sunt 25 (cu exceptia cazului n=0)
La 2) Numarul de zerouri este 1, deoarece expresia se poate scrie

dar ultimele 2 cifre depind de restul impartirii lui n la 6, ceea ce, deja, mi se pare cam mult pentru clasa a 5-a.

[Citat] (1) Daca n este numar natural, aflati ultimele doua cifre ale numarului

Da, aceasta este intr-adevar o problema de a clasa a V-a, elevul generic de clasa a V-a luat la intamplare, dupa ce ne-a povestit putin cu exactitate despre cativa ani de nastere de regi, imparati, domnitori si dictatori, despre ce au facut ei rau si ce au facut si mai rau, dupa ce a facut o analiza gramaticala a propozitiei

Din ceas, dedus adancul acestei calme creste,
Intrata prin oglinda in mantuit azur,
Taind pe inecarea cirezilor agreste
In grupurile apei, un joc second, mai pur.

si si-a facut tema la engleza tragand ceva analysing pe poezia

From the clock, deduced the depth of this one barren summit,
Entrance through mirror in redeemed azur,
Cutting on the breathlessness of the rustic herds,
In the groups of the water, purer a secondary game.

ei bine, omul acesta sarguincios de clasa a V-a, el, sau mai bine zis ea, dupa atata joaca cu lucrurile copilaresti, se duce la culcare intre doua pauze dintre jocul de biliard, cel de poker, cel de fotbal sau preferential balet si cel de cumparat painea pentru familie, tragand doar linia de comanda


sage: for n in range(10): print n, " -> ", 5^n*sum( [ k^n for k in [1..9] ] )
....:
0 -> 9
1 -> 225
2 -> 7125
3 -> 253125
4 -> 9583125
5 -> 377578125
6 -> 15287578125
7 -> 631283203125
8 -> 26457551953125
9 -> 1121689423828125


si observand generalizarea imediata, anume faptul ca ultimele trei cifre ale lui P(n), pentru n > 1 natural, sunt 125, deoarece asa e cazul pentru n=2 prin calcul direct, deoarece numarul P(n) se divide cu 5^3 pentru n>2 si deoarece - lema chineza a resturilor cerandu-ne si restul modulo 8 - putem usor calcula
modulo 8

cum se observa usor daca impartim pe cazuri, vazand ca

pentru n par dam de puterile intermediare 25, 1, 1, 9, 25, toate congruente cu 1 modulo 8, deci avem de calculat doar 1+1+1+1+1 = 5, (iata in sfarsit o operatie pe care toata Romania o accepta ca apta de clasa a V-a)

iar pentru n impar avem de-a face cu 5x1 + (-1)x1 + 1 + 3x1 + 5x1, deci dam tot de 5.

Deoarece, potrivit lemei chineze a resturilor, exista un singur numar intre 0 si 999 = 8x125 -1 care da resturile 0 si 5 la impartirea cu 125 si respectiv cu 8, pe care noi il stim deja, 125, rezulta ca ultimele trei cifre ale lui P(n) sunt 1,2,5 pentru n>2.

Scriu acestea, deoarece nu am gasit un calcul mai usor nici pentru ultimele doua cifre. (Doar greu pot evita aceeasi impartire pe cazuri, dar nu pot evita calitatea structurii legate de lema chineza a resturilor.)

[Citat] (2) Fie (a) Aflati restul impartirii lui A la 35. (b) Determinati numarul de zerouri in care se termina A.

(a) A se divide evident cu 5. Din fericire pentru eleva de a V-a care a ajuns aici, intreaga paleta de cazuri modulo sase ale exponentului n intra in joc, anume deoarece 3 este radacina primitiva modulo 7. Inarmata cu aceste cunostiinte, eleva de clasa a V-a se asteapta potrivit micii teoreme a lui Fermat la perioada 6 pentru aparitia resturilor si tipareste doar

sage: for n in [0..5]: print n, " -> ", ( 125*300^n -270*3^n ) % 35
....:
0 -> 30
1 -> 10
2 -> 5
3 -> 5
4 -> 25
5 -> 30

Acesta este un sir cunoscut pentru eleva de clasa a cincea, el reprezinta numarul de probleme ce sunt date ca tema in cele sase zile ale saptamanii.

(b) O tema la fel de simpla, ultima cifra este desigur 0 (pentru n>0), deoarece 300 si 270 se divid cu 10. Penultima cifra se determina usor calculand modulo 10 numarul -7 x 3^n, adica 3x3^n, adica 3^(n+1), dam de 9,7,1,3, 9,7,1,3 ... dar aceasta nu ni s-a cerut. A se termina intr-un singur zerou.

Pe scurt, o tema structurala,

care a imbinat sicana de despachetat puteri pentru a obtine coincidenta de a da factor comun 300^n, un lucru des intalnit in lumea bancara,

cu dezvoltarea simtului diversitatii si al increderii in neprevazut, in care soarta il pune pe om sa stie care este restul de la sutare, desi lui ii lipsesc in viata de zi cu zi bancnotele mai mari.

Ce-as mai da sa mai fiu o data in clasa a V-a!

(Cer scuze daca iar mi-am incalcat / incarcat tonul cu compresorul, dar problema de mai sus nu corespunde nici cu cunostintele, nici cu maturitatea elevului de clasa a V-a.)
(Cer scuze, dar un fost coleg spunea ca aceasta problema corespunde exact cu cunostintele si cu maturitatea unui anumit alt coleg ce preda la clasa a V-a.)