Sa se determine numerele reale pozitive a,b,c care verifica simultan relatiile: a+b+c=1 si

daca permutam ciclic a,b,c obtinem aceeasi ecuatie adica a=b=c=1/3

[Citat] daca permutam ciclic a,b,c obtinem aceeasi ecuatie adica a=b=c=1/3

Si care e explicatia clara a concluziei ca neaparat cele 3 numere trebuie sa fie egale??

Sa se determine numerele reale pozitive a,b,c care verifica simultan relatiile: a+b+c=1 si

,m=natural oarecare

a=b=c este o solutie unica ?

DA!

Fie m real pozitiv fixat.
Fie a,b,c>0 cu proprietatea ca suma lor este 1.
Presupunem ca avem

Atunci a=b=c=1/3.

Demonstratia merge exact dupa modelul celei de mai sus, se deosebeste doar prin faptul ca formulele sunt scrise atat de explicit incat sa nu mai ramana dubii. Din cele date rezulta:

Inegalitatea numita aici "Titu" este o forma a inegalitatii Cauchy-Schwarz de forma (AA+BB+CC)(xx+yy+zz) >= (Ax+By+Cz)^2 in care il luam pe AA (A patrat) sa fie la noi primul termen a^2/(mab+ac) ... etc.

Deoarece am minorat de doua ori si am ajuns "tot la zer0", rezulta ca am avut egalitati la toti pasii. Deci inclusiv la ultimul, deci (a-b)=(b-c)=(c-a) = 0, deci a=b=c=1/3. Observam ca aceasta relatie conduce la o egalitate si in prima minorare.

Daca mai sunt neclaritati ROG a se formula o intrebare. (De obicei, incercarea de formulare rezolva intrebarea...)