Fie

a)Exist? în mul?imea A trei numere în progresie aritmetic??
b)Dar 4?
c)Dar

, cu

?
d) Exist? în A o infinitate de termeni în progresie aritmetic??

Întîi de toate, frumos cadou de Mo? Nicolae!

Iat? acum solu?ia la care m-am gîndit eu.

Mi s-a p?rut natural s? consider progresia cu primul termen

, egal ?i cu ra?ia, al doilea termen fiind

, dar apoi al treilea nu mai e în mul?ime, fiind

.

A?a c? m-am gîndit s? încep cu

, egal ?i cu ra?ia, care d? 4 termeni în mul?ime,

, dînd apoi de un 5 sus, care stric? ?mecheria.

A?a c? lu?m un ?ir cu

, care furnizeaz?

termeni din mul?ime, în nota?ia mea însemnînd cel mai mare num?r prim mai mic sau egal cu n.

Asta cred c? rezolv? primele 3 subpuncte.

Pentru d), c?p?tînd ceva experien?? despre cum ar trebui s? arate progresiile care au n termeni din mul?ime, presupunem c? nu exist? una cu o infinitate de termeni ?i c?

ar fi cel care d? cei mai mul?i, anume n. Dar apoi

d? n+1.

Deci dac? presupunem c? am g?sit unul cu cei mai mul?i termeni în mul?ime, atunci putem construi unul care are ?i mai mul?i. Acesta cred c? este argumentul pentru a concluziona c? avem o infinitate de termeni în progresie aritmetic? în mul?imea A, f?r? a putea da o formul? general?. (fapt care cred c? este imposibil, deoarece pornim de la un num?r subunitar pe care îl tot m?rim la infinit, cu o ra?ie fix?, subunitar? ?i trebuie s? r?mînem tot cu numere subunitare ad infinitum ).

Din nou, frumoas? problem?!

P.S. Cred c? în loc s? fac pe "coco?ul", puteam s? spun pur ?i simplu c? progresia cu primul termen

, egal ?i cu ra?ia este una care are n termeni în mul?imea A, f?r? alte ridic?ri (inutile?) la putere ale numitorului.

[Citat] Deci dac? presupunem c? am g?sit unul cu cei mai mul?i termeni în mul?ime, atunci putem construi unul care are ?i mai mul?i. Acesta cred c? este argumentul pentru a concluziona c? avem o infinitate de termeni în progresie aritmetic? în mul?imea A, f?r? a putea da o formul? general?. (fapt care cred c? este imposibil, deoarece pornim de la un num?r subunitar pe care îl tot m?rim la infinit, cu o ra?ie fix?, subunitar? ?i trebuie s? r?mînem tot cu numere subunitare ad infinitum ).

Deci cum e?

Am vrut s? spun a?a: exist? (cel pu?in) o progresie aritmetic? avînd o infinitate de termeni în mul?imea A, dar nu o putem da explicit, printr-o prezentare de genul: progresia cu primul termen ..... ?i ra?ia ........ are o infinitate de termeni din A.

Aceasta deoarece dac? pornim cu un

?i un

, atunci cel "tîrziu"

, conform

.

Totu?i, pentru orice ?ir care con?ine n termeni din A, se poate g?si unul care con?ine n+1 termeni din A (anume

) fapt care (pe mine m?) conduce la concluzia ca exist? progresii care au o infinitate de termeni în A, f?r?, îns?, a le putea descrie sau formula explicit, adic? prin primul termen ?i ra?ia.

Eu o v?d ca pe o analogie la afirma?ia: în (0,1) exist? un cel mai mare element, (pentru c? orice num?r de acolo am lua, putem g?si unul mai mare) dar nu-l putem desemna explicit.

Faptul care cred c? este imposibil din afirma?ia citat? este acela de a da o formul? general?.

Nu, chiar daca exista in A progresii aritmetice oricat de lungi, nu inseamna ca exista o progresie aritmetica infinita. Orice progresie (infinita) neconstanta e un sir nemarginit, pe cand multimea A este marginita.

Un exemplu analog: pentru orice n exista n numere naturale consecutive care sunt toate numere compuse, dar nu exista o infinitate de numere naturale consecutive cu aceasta proprietate.

?tiam eu c? e o problem? frumoas?!

Glumesc, sportiv este s? recunosc faptul c? ar fi trebuit s? ?tiu aceasta ?i am r?spuns gre?it din grab? ?i neaten?ie, ca în multe alte situa?ii.

Mul?umesc, atît pentru problem?, cît ?i pentru corectur?.

Întrebare, dac? îmi permite?i: pe o astfel de gre?eal? a?i mizat cînd a?i propus problema sau a?i postat-o, pur ?i simplu, ca pe o problem? cumsecade?

[Citat] Întrebare, dac? îmi permite?i: pe o astfel de gre?eal? a?i mizat cînd a?i propus problema sau a?i postat-o, pur ?i simplu, ca pe o problem? cumsecade?

Nu sunt eu autorul problemei. S-a dat la olimpiada de matematica in Marea Britanie, acum cativa ani.

Se pare ca a ramas partea mai usoara...
Pai cand poate fi zero punct limita (mai exact poate, punct de acumulare) pentru un sir ce depinde de parametrii reali a,r cu termenul general

[Citat] Se pare ca a ramas partea mai usoara...

Chiar asa? Ati avut curiozitatea sa cititi toate postarile?

[Citat] Fie a)Exist? în mul?imea A trei numere în progresie aritmetic?? b)Dar 4? c)Dar , cu ? d) Exist? în A o infinitate de termeni în progresie aritmetic??

a) Toate numerele din multime care sunt de forma

sunt in progresie aritmetica unde

.Mai sunt si alte forme de numere cred....
----------
La punctele b),C),d) e mai greu,dar mai cercetez cu umilinta...Frumoasa problema.Frumoasa e matematica,dar grea... :D

[Citat] Glumesc, sportiv este s? recunosc faptul c? ar fi trebuit s? ?tiu aceasta ?i am r?spuns gre?it din grab? ?i neaten?ie

Nu, daca ne uitam mai atent, in ceea ce ai scris e ideea corecta de rezolvare:

[Citat] fapt care cred c? este imposibil, deoarece pornim de la un num?r subunitar pe care îl tot m?rim la infinit, cu o ra?ie fix?, subunitar? ?i trebuie s? r?mînem tot cu numere subunitare ad infinitum