| Autor |
Mesaj |
|
|
sa se rezolve sistemele de ecuatii diferentiale:
S1: { x1'=x2x3; x2'=x3x1; x3'=x1x2; }, unde nr. 1,2si3 reprezinta indici
S2: { x1'=x1(x2^2-x3^2; x2'=-x2(x1^2+x3^2; x3'=x3(x1^2+x2^2  , unde ^2=la puterea a doua. Va multumesc
|
|
|
[Citat]
Sa se rezolve sistemele de ecuatii diferentiale:
|
(S1)
Din cele date deducem imediat:
Cautam solutii pe un interval deschis (de exemplu intreaga dreapta reala).
Atunci functiile x1, x2, x3 ridicate la patrat difera una de alta prin cate o constanta... Rezulta ca exista o functie y derivabila (si continua) si exista constante c2, c3 cu
Deja am o banuiala ca nu se cerea solutia ci doar doua "conditii independente" de forma (x1^2-x2^2)' = (x1^2-x2^2)' = 0 ...
In fine, cred ca pot rezolva totusi la un nivel oarecare...
Solutia generala pare a fi la o ora tarzie parametrizata de semnele e1, e2, e3 (plus sau minus unu) cu proprietatea ca fiecare semn e produsul la celelalte doua, deci echivalent cu faptul ca produsul lor e unu, e1 e2 e3 = 1 (aceste semne sunt constante discrete)
impreuna cu doua constante variabile c2 si c3 (in curand mai vine o constanta)
astfel incat:
unde t este variabila reala. Ramane sa mai rezolvam ultima ecuatie in y.
(daca ea e satisfacuta, toate ecuatiile date sunt satisfacute...)
Ei bine, ca de obicei in astfel de situatii cu variabile separate, functia y=y(t) nu se afla prima, ci inversa ei, t=t(y) (scrieri formale, asa scriu oamenii, n-am ce face. Va mai apare o constanta c1..).
Ei bine, inversa ei este ceva complicat (dam cred de functii eliptice destul de repede... motiv pentru care sunt sigur ca ori am gresit ori altul era enuntul...) hm...
(S2)
Aici din nou vedem dependenta
de unde rezulta existenta unei constante / a unui parametru C cu
De aici rezolvam mai intai ecuatiile cu variabile separate (fiecare)
in care din nou nu dam explicit de functia x2(t) respectiv x3(t) ci ce functiile inverse t(x2) si t(x3), in fine, le inversam, le inlocuim in ecuatia diferentiala ramasa care este (ln(x1)) ' = ...
Probabil ca am gresit pe undeva, daca enuntul era chiar cu calculul de solutii.
Inca o data pe aceasta pagina: Care este sursa? Care este nivelul? In ce cadru apare (matematici speciale la politehnica, pfaffieni, forme diferentiale exacte la matematica pura...)?
---
df (gauss)
|
Access general
Conţine mesaje necitite
