"1*2+2*2^2+3*2^3+...+(n-1)*2^n-1" =???????

Cel mai simplu dau drumul la computer..

sage: k,n = var( 'k,n' )
sage: sum( k*2^k, k, 1, n-1 )
(n - 2)*2^n + 2

Formula obtinuta, dac-o fi adevarata, poate ca poate fi aratata prin inductie.

Pe de alta parte putem sa incercam sa adunam cu mana pe

2
2^2 2^2
2^3 2^3 2^3
: : : : : : \
2^k 2^k 2^k ... 2^k
: : : : : : : : : : \
pana la ultimul pe care nu-l mai scriu.

E bine a se plasa aceste numere intr-un careu (matrice poate, dar luam doar partea triunghiulara...)
Problema cere suma daca adunam mai intai pe linii apoi pe coloane...
Dar putem aduna si invers...

Daca stim si ceva despre derivate...
Cel mai bine cautam o formula generala cu x cu tot in loc de 2-ul acela.
Atunci suma cautata se pune repede in legatura (se mai inmulteste/imparte cu un x...) cu ceva de forma

multumesc pentru raspuns!
am reusit sa o rezolv
am descompus fiecare termen al sumei in cate o suma, deci "n-2" sume + ultimul termen 2^n-1, apoi s-a calculat usor, fiecare suma fiind progresie geometrica

profit de acest topic ca sa va pun o intrebare:

cum calculez:

si

Multumesc mult !

P.S. M-am tot chinuit la ele.. dar nu stiu cum Dumnezei sa le fac
P.P.S. Primul tot incerc sa il descompun in ceva cunoscut doar ca nu iesee ( morrr

D-na profesoara ne-a dat si rezultatele ca sa stim la ce trebuie sa ajungem pt ca noi un exercitiu ca asta trebuie sa-l calculam ca mai apoi sa-l demonstram prin inductie ( ex din astea ne da si la teza )

Va multumesc mult !!

Al 2lea cred ca l-am facut, marea problema ramane primul

La al 2lea descomun fractia mare in 2 fractii si vine suma de la exercitiul postat anterior si cu o alta suma, pe care am reusit sa o rezolv

adica:

Prima fractie e aia de la exercitiul inca nerezolvat, si a 2a fractie e de la un exercitiu pe care l-am rezolvat in tema de azi.
Oricum , profesoara ne-a dat rezolvatul final la toate, adica

si dupa se obtine rezultatul.

Oricum, la primul exercitiu postat, inca nu i-am dat de capat

Va multumesc foarte mult domnule Enescu.

Am inteles cum ati rezolvat exercitiul, ati obtinut la numarator numitorul astfel incat sa apara o suma acolo. Voi avea in vedere aceasta tehnica pentru ca mai am nevoie de exercitiu pana la teza.
Va multumesc mult de tot.

O seara placuta si toate cele bune dintr-o Moldova acoperita cu zapada :D !

Doar o mica nota... Deoarece stim solutia in

[Citat] ...

avand in vedere ca am inteles cum merge inductia imediat gasim trucul telescopic:
Ajunge sa verificam egalitatea:

care are loc pentru orice n (real diferit de +1/2, -1/2... deci si) intreg mai mare sau egal cu zero. Scriind aceasta formula buna de telescopat pentru j in loc de n, j plimbandu-se de la 1 la n, ne scapam de inductie...

Nota:
Exista soft matematic (maple $, mathematica $, maxima liber, sage liber) care rezolva asa ceva pentru noi daca se poate rezolva asa ceva... De exemplu:

sage: ?sum
sage: j,n = var( 'j,n' )
sage: sum( j^2 / ( (2*j-1)*(2*j+1) ) , j, 1, n )
1/2*(n^2 + n)/(2*n + 1)

Nota:
De obicei, descompunerea in "fractii simple" ajuta (aproape) intotdeauna in astfel de cazuri, daca suma se poate calcula. Acest lucru este standard cel tarziu cand trebuie calculate primitive de functii rationale (clasa a XII-a). Aceasta se cauta sub o forma precisa. Am fi dat de solutia de mai sus. Cu computerul:

sage: var( 'j' );
sage: fractie = j^2 / ( (2*j-1)*(2*j+1) )
sage: fractie
j^2/((2*j - 1)*(2*j + 1))
sage: latex( fractie )
\frac{j^{2}}{{\left(2 \, j - 1\right)} {\left(2 \, j + 1\right)}}
sage: fractie.partial_fraction( j )
1/8/(2*j - 1) - 1/8/(2*j + 1) + 1/4
sage: latex( fractie.partial_fraction( j ) )
\frac{1}{8 \, {\left(2 \, j - 1\right)}}
+ \frac{-1}{8 \, {\left(2 \, j + \right)}}
+ \frac{1}{4}

Sunt ce-i drept cam multe paranteze de compilat pentru ochiul uman, masina de calcul ne-a oferit insa:

Nota: Stiu ca nu e cea mai bina afacere sa ne incredem orb in masini si sa le lasam sa "gandeasca" in locul nostru (mai degraba sa ceara ceea ce au destelenit mari matematicieni si harnici programatori), dar daca nu se stie raspunsul, daca e nevoie de o verificare, daca omul e in criza de timp...

[Citat] ... am descompus fiecare termen al sumei in cate o suma, deci "n-2" sume + ultimul termen 2^n-1, apoi s-a calculat usor, fiecare suma fiind progresie geometrica

Excelent!