Sa se calculeze

.

P.S. Cred ca e o primitiva facuta in clasa a XII-a, motiv pt care poate o sa fiu tras de urechi...

Cred ca am gasit o solutie, sper, totusi sa existe si vreuna mai frumoasa.

Am scris

si, dupa ce am determinat constantele A, B, C, D, am descompus integrala in doua, apoi am pus in evidenta la numarator derivata numitorului, ca sa obtin ln(numitor) si ce mi-a ramas a fost

, pe care le-am facut cu arctg, cu constante in fata.

Cred ca asta ar fi solutia standard. Dar ma gandeam la vreo combinatie, sa-i gasesc integralei initiale vreo ruda cu care sa intre intr-o combinatie liniara pentru a obtine ceva simplu (cum ar fi o constanta) si sa "ruda" sa se calculeze mai simplu. (Gen solutia data de d. Enescu la subiectul cu acelasi nume, dar de alt autor.)

[Citat] Dar ma gandeam la vreo combinatie, sa-i gasesc integralei initiale vreo ruda cu care sa intre intr-o combinatie liniara pentru a obtine ceva simplu (cum ar fi o constanta) si sa "ruda" sa se calculeze mai simplu.

Da, e posibil, si calculul e foarte asemanator cu cel din solutia mentionata. Se considera si primitiva

Suma si diferenta celor 2 primitive se calculeaza (dupa ce impartim fortat cu

) cu substitutiile

, respectiv

[Citat] [Citat] Dar ma gandeam la vreo combinatie, sa-i gasesc integralei initiale vreo ruda cu care sa intre intr-o combinatie liniara pentru a obtine ceva simplu (cum ar fi o constanta) si sa "ruda" sa se calculeze mai simplu. Da, e posibil, si calculul e foarte asemanator cu cel din solutia mentionata. Se considera si primitiva Suma si diferenta celor 2 primitive se calculeaza (dupa ce impartim fortat cu ) cu substitutiile , respectiv

Bine. Cred ca imi place mai mult ce am facut eu, fiindca...am facut eu, adica a fost solutia "naturala" care mi-a venit in minte.
Multumesc.

Doar o nota...
Si eu am rezolvat de obicei problema asta facand descompunerea in fractii simple de forma

Aici, din cauza invariantei partii din stanga la (automorfismul Galois al lui

anume la) "conjugarea" care trimite

rezulta ca si partea dreapta sta pe loc la aceasta conjugare.

Deoarece scrierea ca suma de fractii simple este unica, rezulta ca
A <-> C se corespund prin conjugare si
B <-> D se corespund prin conjugare.

Mai prozaic, se observa paralel ca daca schimbam x cu -x atunci tot din aceasta unicitate avem:
B = D si A = -C.

M-am bagat si eu in vorba, deoarece ori de cate ori (n-)am castigat un ban muncit pe tema asta (obligatiile), cei ce ma ascultau stoic deodata se simteau in largul lor cand aveau de calculat doar A,B (si nu A,B,C,D deci PATRU necunoscute...) din

Lucrul asta deodata conferea comfort si liniste...
In orice examen, de exemplu la bac, astfel de linistiri economisesc munca si stres psihic...

Facandu-l acum pe x=0 dam de 1/1 = B/1 + B/1, deci destul de repede B = D = 1/2.

Facandu-l pe x egal cu radical din doi, putem face ceva calcule cu numere normale mai departe, obtinandu-l repede pe A.

(Desi in toate incercarile mele de a impune particularizarea asta am dat kix, particularizarea x=1 si rationalizarea de numitori mi-a fost intotdeauna acceptata...)

Ma opresc aici...