Problema se poate reformula de asa natura incat sa intre in cadrul celor deja studiate de mai multa vreme. In primul rand functia theta
este functia generatoare pentru numarul modurilor de a scrie un intreg ca (o suma de un) patrat perfect de numar
intreg, anume:
http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper37/page1.htmhttp://mathworld.wolfram.com/JacobiThetaFunctions.html egalitatea (34)
http://mathworld.wolfram.com/RamanujanThetaFunctions.htmlhttp://physicsarchives.com/index.php/courses/1203
Aceasta serie este absolut convergenta pentru q complex cu |q|<1 din criteriul comparatiei cu seria geometrica. Pentru cei ce vor face curand forme modulare, este de mentionat ca acest q se obtine ca un
unde IH este semiplanul deschis complex delimitat de axa reala ce contine punctul i. (Unii autori iau tau' in loc de 2 tau de mai sus...)
Formele modulare au proprietati "cunoscute".
(Ele -altele- au jucat un rol vital ca obiect intermediar in demonstrarea teoremei lui Fermat. Conjecturi puternice ramase le au ca obiecte de asemenea.)
Faptul ca ele sunt mai putin cunoscute in Romania are de-a face cu faptul ca oamenii se concentreaza inca pe teme antice si apuse de demult. Toti elevii ce vor sa miste si ei o minge pe terenul matematicii, sunt rugati sa citeasca cate ceva despre forme modulare daca apare prilejul.
(Alternativ avem de-a face cu functia theta a laticii ZZ x ZZ din planul real.)
Ei bine, problema propusa are de-a face cu patratul acestei forme modulare,
Mai exact cred ca mai sus se cere ceva de forma:
ca sa ramana doar coeficientii de indice par.
Functia phi de mai sus poarta numele lui Ramanujan. El a studiat-o in Londra pe vremea lui Hardy si Littlewood, impresionandu-l pe Hardy datorita faptului ca el o cunostea mai bine prin clarviziune din vis, pe cand ceilalti incercau sa o incadreze cumva in ceata din Londra.
Sage cunoaste aceasta functie, cu cateva randuri de cod, cu o trunchiere modulo q la puterea 2027 dam de:
sage: F = theta_qexp(2027)^2
sage: F
Rezultate
1 + 4*q + 4*q^2 + 4*q^4 + 8*q^5 + 4*q^8 + 4*q^9 + 8*q^10 + 8*q^13 + 4*q^16 + 8*q^17 + 4*q^18 + 8*q^20 + 12*q^25 + 8*q^26 + 8*q^29 + 4*q^32 + 8*q^34 + 4*q^36 + 8*q^37 + 8*q^40 + 8*q^41 + 8*q^45 + 4*q^49 + 12*q^50 + 8*q^52 + 8*q^53 + 8*q^58 + 8*q^61 + 4*q^64 + 16*q^65 + 8*q^68 + 4*q^72 + 8*q^73 + 8*q^74 + 8*q^80 + 4*q^81 + 8*q^82 + 16*q^85 + 8*q^89 + 8*q^90 + 8*q^97 + 4*q^98 + 12*q^100 + 8*q^101 + 8*q^104 + 8*q^106 + 8*q^109 + 8*q^113 + 8*q^116 + 8*q^117 + 4*q^121 + 8*q^122 + 16*q^125 + 4*q^128 + 16*q^130 + 8*q^136 + 8*q^137 + 4*q^144 + 16*q^145 + 8*q^146 + 8*q^148 + 8*q^149 + 8*q^153 + 8*q^157 + 8*q^160 + 4*q^162 + 8*q^164 + 12*q^169 + 16*q^170 + 8*q^173 + 8*q^178 + 8*q^180 + 8*q^181 + 16*q^185 + 8*q^193 + 8*q^194 + 4*q^196 + 8*q^197 + 12*q^200 + 8*q^202 + 16*q^205 + 8*q^208 + 8*q^212 + 8*q^218 + 16*q^221 + 12*q^225 + 8*q^226 + 8*q^229 + 8*q^232 + 8*q^233 + 8*q^234 + 8*q^241 + 4*q^242 + 8*q^244 + 8*q^245 + 16*q^250 + 4*q^256 + 8*q^257 + 16*q^260 + 8*q^261 + 16*q^265 + 8*q^269 + 8*q^272 + 8*q^274 + 8*q^277 + 8*q^281 + 4*q^288 + 12*q^289 + 16*q^290 + 8*q^292 + 8*q^293 + 8*q^296 + 8*q^298 + 16*q^305 + 8*q^306 + 8*q^313 + 8*q^314 + 8*q^317 + 8*q^320 + 4*q^324 + 24*q^325 + 8*q^328 + 8*q^333 + 8*q^337 + 12*q^338 + 16*q^340 + 8*q^346 + 8*q^349 + 8*q^353 + 8*q^356 + 8*q^360 + 4*q^361 + 8*q^362 + 16*q^365 + 8*q^369 + 16*q^370 + 8*q^373 + 16*q^377 + 8*q^386 + 8*q^388 + 8*q^389 + 4*q^392 + 8*q^394 + 8*q^397 + 12*q^400 + 8*q^401 + 8*q^404 + 8*q^405 + 8*q^409 + 16*q^410 + 8*q^416 + 8*q^421 + 8*q^424 + 24*q^425 + 8*q^433 + 8*q^436 + 4*q^441 + 16*q^442 + 16*q^445 + 8*q^449 + 12*q^450 + 8*q^452 + 8*q^457 + 8*q^458 + 8*q^461 + 8*q^464 + 8*q^466 + 8*q^468 + 8*q^477 + 16*q^481 + 8*q^482 + 4*q^484 + 16*q^485 + 8*q^488 + 8*q^490 + 16*q^493 + 16*q^500 + 16*q^505 + 8*q^509 + 4*q^512 + 8*q^514 + 16*q^520 + 8*q^521 + 8*q^522 + 4*q^529 + 16*q^530 + 16*q^533 + 8*q^538 + 8*q^541 + 8*q^544 + 16*q^545 + 8*q^548 + 8*q^549 + 8*q^554 + 8*q^557 + 8*q^562 + 16*q^565 + 8*q^569 + 4*q^576 + 8*q^577 + 12*q^578 + 16*q^580 + 8*q^584 + 16*q^585 + 8*q^586 + 8*q^592 + 8*q^593 + 8*q^596 + 8*q^601 + 8*q^605 + 16*q^610 + 8*q^612 + 8*q^613 + 8*q^617 + 20*q^625 + 8*q^626 + 8*q^628 + 16*q^629 + 8*q^634 + 8*q^637 + 8*q^640 + 8*q^641 + 4*q^648 + 24*q^650 + 8*q^653 + 8*q^656 + 8*q^657 + 8*q^661 + 8*q^666 + 8*q^673 + 8*q^674 + 12*q^676 + 8*q^677 + 16*q^680 + 16*q^685 + 16*q^689 + 8*q^692 + 16*q^697 + 8*q^698 + 8*q^701 + 8*q^706 + 8*q^709 + 8*q^712 + 8*q^720 + 4*q^722 + 8*q^724 + 24*q^725 + 4*q^729 + 16*q^730 + 8*q^733 + 8*q^738 + 16*q^740 + 16*q^745 + 8*q^746 + 16*q^754 + 8*q^757 + 8*q^761 + 16*q^765 + 8*q^769 + 8*q^772 + 8*q^773 + 8*q^776 + 8*q^778 + 4*q^784 + 16*q^785 + 8*q^788 + 16*q^793 + 8*q^794 + 8*q^797 + 12*q^800 + 8*q^801 + 8*q^802 + 8*q^808 + 8*q^809 + 8*q^810 + 8*q^818 + 16*q^820 + 8*q^821 + 8*q^829 + 8*q^832 + 8*q^833 + 12*q^841 + 8*q^842 + 24*q^845 + 8*q^848 + 24*q^850 + 8*q^853 + 8*q^857 + 16*q^865 + 8*q^866 + 8*q^872 + 8*q^873 + 8*q^877 + 8*q^881 + 4*q^882 + 16*q^884 + 16*q^890 + 8*q^898 + 12*q^900 + 16*q^901 + 8*q^904 + 16*q^905 + 8*q^909 + 8*q^914 + 8*q^916 + 8*q^922 + 24*q^925 + 8*q^928 + 8*q^929 + 8*q^932 + 8*q^936 + 8*q^937 + 8*q^941 + 16*q^949 + 8*q^953 + 8*q^954 + 4*q^961 + 16*q^962 + 8*q^964 + 16*q^965 + 4*q^968 + 16*q^970 + 8*q^976 + 8*q^977 + 8*q^980 + 8*q^981 + 16*q^985 + 16*q^986 + 8*q^997 + 16*q^1000 + 8*q^1009 + 16*q^1010 + 8*q^1013 + 8*q^1017 + 8*q^1018 + 8*q^1021 + 4*q^1024 + 24*q^1025 + 8*q^1028 + 8*q^1033 + 16*q^1037 + 16*q^1040 + 8*q^1042 + 8*q^1044 + 8*q^1049 + 8*q^1053 + 4*q^1058 + 16*q^1060 + 8*q^1061 + 16*q^1066 + 8*q^1069 + 16*q^1073 + 8*q^1076 + 8*q^1082 + 8*q^1088 + 4*q^1089 + 16*q^1090 + 8*q^1093 + 8*q^1096 + 8*q^1097 + 8*q^1098 + 32*q^1105 + 8*q^1108 + 8*q^1109 + 8*q^1114 + 8*q^1117 + 8*q^1124 + 16*q^1125 + 8*q^1129 + 16*q^1130 + 8*q^1138 + 16*q^1145 + 4*q^1152 + 8*q^1153 + 8*q^1154 + 12*q^1156 + 16*q^1157 + 16*q^1160 + 16*q^1165 + 8*q^1168 + 16*q^1170 + 8*q^1172 + 8*q^1181 + 8*q^1184 + 8*q^1186 + 16*q^1189 + 8*q^1192 + 8*q^1193 + 8*q^1201 + 8*q^1202 + 16*q^1205 + 8*q^1210 + 8*q^1213 + 8*q^1217 + 16*q^1220 + 8*q^1224 + 12*q^1225 + 8*q^1226 + 8*q^1229 + 8*q^1233 + 8*q^1234 + 8*q^1237 + 16*q^1241 + 8*q^1249 + 20*q^1250 + 8*q^1252 + 8*q^1256 + 16*q^1258 + 16*q^1261 + 8*q^1268 + 8*q^1274 + 8*q^1277 + 8*q^1280 + 8*q^1282 + 16*q^1285 + 8*q^1289 + 4*q^1296 + 8*q^1297 + 24*q^1300 + 8*q^1301 + 16*q^1305 + 8*q^1306 + 8*q^1312 + 16*q^1313 + 8*q^1314 + 8*q^1321 + 8*q^1322 + 24*q^1325 + 8*q^1332 + 8*q^1341 + 16*q^1345 + 8*q^1346 + 8*q^1348 + 12*q^1352 + 8*q^1354 + 16*q^1360 + 8*q^1361 + 12*q^1369 + 16*q^1370 + 8*q^1373 + 8*q^1377 + 16*q^1378 + 8*q^1381 + 8*q^1384 + 16*q^1385 + 16*q^1394 + 8*q^1396 + 8*q^1402 + 16*q^1405 + 8*q^1409 + 8*q^1412 + 8*q^1413 + 16*q^1417 + 8*q^1418 + 8*q^1421 + 8*q^1424 + 8*q^1429 + 8*q^1433 + 8*q^1440 + 4*q^1444 + 24*q^1445 + 8*q^1448 + 24*q^1450 + 8*q^1453 + 4*q^1458 + 16*q^1460 + 16*q^1465 + 8*q^1466 + 16*q^1469 + 8*q^1476 + 16*q^1480 + 8*q^1481 + 8*q^1489 + 16*q^1490 + 8*q^1492 + 8*q^1493 + 16*q^1508 + 16*q^1513 + 8*q^1514 + 16*q^1517 + 12*q^1521 + 8*q^1522 + 24*q^1525 + 16*q^1530 + 16*q^1537 + 8*q^1538 + 8*q^1544 + 8*q^1546 + 8*q^1549 + 8*q^1552 + 8*q^1553 + 8*q^1556 + 8*q^1557 + 16*q^1565 + 4*q^1568 + 16*q^1570 + 8*q^1573 + 8*q^1576 + 16*q^1585 + 16*q^1586 + 8*q^1588 + 8*q^1594 + 8*q^1597 + 12*q^1600 + 8*q^1601 + 8*q^1602 + 8*q^1604 + 8*q^1609 + 8*q^1613 + 8*q^1616 + 8*q^1618 + 8*q^1620 + 8*q^1621 + 32*q^1625 + 8*q^1629 + 8*q^1636 + 8*q^1637 + 16*q^1640 + 8*q^1642 + 16*q^1649 + 8*q^1657 + 8*q^1658 + 8*q^1664 + 16*q^1665 + 8*q^1666 + 8*q^1669 + 12*q^1681 + 12*q^1682 + 8*q^1684 + 16*q^1685 + 24*q^1690 + 8*q^1693 + 8*q^1696 + 8*q^1697 + 24*q^1700 + 8*q^1706 + 8*q^1709 + 8*q^1714 + 16*q^1717 + 8*q^1721 + 16*q^1730 + 8*q^1732 + 8*q^1733 + 8*q^1737 + 8*q^1741 + 8*q^1744 + 16*q^1745 + 8*q^1746 + 8*q^1753 + 8*q^1754 + 8*q^1762 + 4*q^1764 + 16*q^1765 + 16*q^1768 + 16*q^1769 + 8*q^1773 + 8*q^1777 + 16*q^1780 + 16*q^1781 + 8*q^1789 + 8*q^1796 + 12*q^1800 + 8*q^1801 + 16*q^1802 + 8*q^1805 + 8*q^1808 + 16*q^1810 + 8*q^1813 + 8*q^1818 + 24*q^1825 + 8*q^1828 + 8*q^1832 + 8*q^1844 + 16*q^1845 + 4*q^1849 + 24*q^1850 + 16*q^1853 + 8*q^1856 + 8*q^1858 + 8*q^1861 + 8*q^1864 + 16*q^1865 + 8*q^1872 + 8*q^1873 + 8*q^1874 + 8*q^1877 + 8*q^1882 + 32*q^1885 + 8*q^1889 + 16*q^1898 + 8*q^1901 + 8*q^1906 + 8*q^1908 + 8*q^1913 + 16*q^1921 + 4*q^1922 + 16*q^1924 + 8*q^1928 + 16*q^1930 + 8*q^1933 + 4*q^1936 + 16*q^1937 + 16*q^1940 + 16*q^1945 + 8*q^1949 + 8*q^1952 + 8*q^1954 + 8*q^1960 + 16*q^1961 + 8*q^1962 + 16*q^1970 + 16*q^1972 + 8*q^1973 + 16*q^1985 + 16*q^1989 + 8*q^1993 + 8*q^1994 + 8*q^1997 + 16*q^2000 + 16*q^2005 + 8*q^2009 + 8*q^2017 + 8*q^2018 + 16*q^2020 + 12*q^2025 + 8*q^2026 + O(q^2027)
Acel coeficient mare (24) al lui q la puterea 1300 spune ca sunt 24 de moduri de a-l scrie pe 1300 ca suma de doua patrate de numere intregi. (Ordinea termenilor si semnul lor conteaza...)
Pentru a vedea ca exista o infinitate de numere naturale n pentru care exista x,y naturale cu x<n<y si
ajunge sa avem unul si sa folosim homogenitatea. De exemplu:
Nu vreau sa tai dintr-o discutie care tocmai incepe... Din contra. Totusi, este de mentionat ca coeficientii functiilor modulare au proprietati aritmetice deosebite si relativ complicate... Am adus cat de cat lamuriri?!
Access general
Conţine mesaje necitite
