1) Bisectoarele unghiurilor A si D ale paralelogramului ABCD intersecteaza diagonalele BD si AC in M si N. Sa se arate ca vectorii MN si BC sunt coliniari.

2) Fie O intersectia diagonalelor[AC] si [BD] ale paralelogramului ABCD. Pe semidreapta opusa semidreptei [BD se considera punctul E astfel incat unghiurile BAC si BAE sunt congruente. Daca Geste punctul de intersectie al dreptelor BC si AE si F al dreptelor AB si CE, sa se arate ca:
a) AB/BF-AC/AE=1
b) BC/BG-CF/EF=1


3)In triunghiul ABC se considera punctele D pe (AB) , E pe (AC), M pe (BC) si N pe (DE) astfel incat MB/MC=ND/NE=BD/CE. Sa se demonstreze ca dreapta MN este paralela cu bisectoarea unghiului BAC

[Citat] (1) Bisectoarele unghiurilor A si D ale paralelogramului ABCD intersecteaza diagonalele BD si AC in M si N. Sa se arate ca vectorii MN si BC sunt coliniari.

Notam cu i, j respectiv vectorii normati la lungime unitatea de directie AB respectiv AD.
Avem explicit:

AB = u i
AD = v j

u,v scalari reali,
i,j vectori.

Atunci punctul M de pe BD care este piciorul bisectoarei din A din triunghiul ABD satisface formal:

o egalitate vectoriala, desigur. (Eu nu pun sageti deasupra, formulele sunt complicate destul. Ajunge sa mentionez ca am de-a face cu vectori.)
Formula de mai sus rezulta din teorema bisectoarei daca facem X sa coincida cu B respectiv D...

Daca inlocuim X cu A rezulta:

Unghiul din D este de asemenea format de doi vectori "de aceeasi culoare", anume

DC = u i si
DA = -v j ,
deci ajunge sa schimbam mai sus j cu -j si avem deja formula pentru DN:

De aici se calculeaza imediat

NM = ND + DA + AM = -DN -vj +AM

si inlocuind ... vedem ca i-ul se duce complet, ramane doar ceva in j, deci dam de un vector paralele cu j, deci cu AD, deci cu BC...

E clara afacerea vectoriala cu bisectoarele?