Sa se arate ca:
a)1/(1*4) +1/(4*7)+...+1/(3n-2)(3n+1)<(n+1)/(3n+1)

b)1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(3n+1)>1

c)(1*2)^1/2+(3*4)^1/2+...+[(2n-1)*2n]^1/2< (2*n^2+n)/2

a)

Pentru a demonstra, mai intai sa observam ca este mai simplu sa rezolvam fara inductie. Observam ca

Daca scoatem

factor in fata sumei, ea este una telescopica si raman doar primul si ultimul termen al sumei, adica

P.S. Pentru a demonstra ca fiecare termen al sumei se scrie ca o diferenta, putem pur si simplu - muncitoreste - sa scriem

si, prin aducere la acelasi numitor si identificarea termenilor, obtinem pe A si B. (Exista si smecherii, nu intru in detalii.)

c)

Pasul de inductie:
Presupunem ca inegalitatea este adevarata pentru n si demonstram ca ramane adevarata daca inlocuim peste tot n cu n+1. Vom nota suma de mai sus din partea stanga cu S(n), pentru simplitate

Din ipoteza de inductie, stim ca S(n) < prima fractie, ramane de aratat ca

, care e exact (cea mai cunoscuta parte din) inegalitatea mediilor...

In caz ca nu va multumeste solutia de la punctul c), propun o alternativa, ce-i drept, fara inductie. Aplicam doar inegalitatea mediilor,

.

Aplicand aceasta pentru fiecare termen al sumei, avem ca

. Adunand toate aceste n inegalitati, avem ca

b)

Propun doua solutii (la cea de-a doua as ruga "instantele superioare" sa ma verifice).

1. Prin inductie, nimic neobisnuit.
Sarind peste pasul de verificare pentru n=1, presupunem ca propozitia este adevarata si demonstram ca ramane asa si cand inlocuim n cu n+1. Sa notam, din nou, suma de mai sus cu S(n). Dar cand trecem de la n la n+1, avem doua modificari importante:
- suma nu mai contine pe

, ci incepe cu

, ca rezultat al trecerii de la n la n+1 peste tot;
- la sfarsit vor fi 3 termeni in plus, pentru ca suma se va termina cu

, din aceeasi cauza mentionata mai sus.

Deci

. Pentru ca S(n+1) > 1, este suficient (desi nu neaparat necesar) ca aceea ce scadem din S(n) sa fie pozitiv. Adica

, care se arata printr-o simpla aducere la numitor comun.

[Citat] In caz ca nu va multumeste solutia de la punctul c)

Cum s?-l nemul?umeasc?? Doar îi facem tema omului

Solutia 2. (de clasa a XI-a)

Folosim faptul ca

Atunci suma noastra este

, unde "sigmele" sunt aceleasi sume dinainte de egal. Trecand acum la limita, adica punand

, avem ca

.

A se observa cat de mica este diferenta pana la 1! Am facut cu Mathematica aceasta diferenta (suma noastra - 1), cu n luand diverse valori si practic de la n=100 incolo, diferenta este mai mica de 0.1.

Din pacate, ultimul argument arata ca doar "la limita are loc inegalitatea..."
Cu alte cuvinte, exista un N0 cu proprietatea ca pentru orice n mai mare sau egal decat acest N0 are loc inegalitatea...

Problema cere insa ceva pentru toti n.

La nivel de clasa a XI-a observatia se poate insa rafina repede pentru a deveni o solutie veritabila. Anume, ne uitam la inegalitatea cunoscuta care ne face sa argumentam simplu existenta constantei lui Euler c (sau gamma) de mai sus:

Functia ce trimite x>0 in 1/x>0 este integrabila pe... cu primitiva ln.
Folosind Lagrange, exitenta unui punct intermediar cu ... rezulta ca

pentru un xi convenabil in intervalul ( k, k+1 ).
De aici dam repede de minorari respectiv majorari...
Adunam telescopic si dam de un fel de rezultate ce seamana cu problema propusa.

Este ln(3n+1) - ln(n) > 1 ?

Daca suntem pe clasa a IX-a ce putem lua mai bine in loc de acel 3n+1?

(Incurajez facutul de calcule in aceasta directie. In definitiv, cineva trebuie sa bata in sfarsit conjectura lui Riemann si asta ar fi un mic pas - poate in directia buna... Desigur este vorba doar de o incalzire, dar deseori in viata este important sa se mentioneze ce probleme sunt importante si care nu.)

Mai am o solutie "elementara".

Putem demonstra usor ca sirul de termen general

. Atunci in pasul de inductie pe care l-am demonstrat, am aratat ca sirul este strict crescator,

.

Acum, daca observam ca

, concluzionam ca orice termen al sirului este supraunitar.