Problema propusa este interesanta, deoarece adreseaza o anumita problematica pentru anumite curbe eliptice de forma

yy = xxx + D

(am mai schimbat literele) unde D este de o forma foarte speciala, o putere a patra... Daca exista o intuitie suplimentara care poate fi folosita pentru familii speciale, acestea ar avea implicatii esentiale pentru structura curbelor eliptice (foarte speciale) din familie. Este un punct de vedere naiv, dar o incercare se merita intotdeauna...

Eu folosesc sage, program liber si bine pus la punct, care are deja implementati multi algoritmi puternici din teoria numerelor.

Cel mai simplu se face rost de solutiile de mai sus daca se ruleaza in sage ceva de forma:

(Se poate tipari si ceva mai pigulit, dar asa ma intelege lumea...)
Eu am intrat aici modest numai in "generatori", deoarece daca P este un astfel de generator (daca rangul este unu am doar un generator, acesta este cazul in majoritatea cazurilor...) de obicei 2P, 3P... au deja numitori urati...
Rezultatele sunt pe gustul meu, prea multe prea intregi, dar nu am gasit pe o alta cale o explicatie viabila...
Rezultatele rularii...


Cealalta cale pleaca cu relatia data si o rescrie destul de repede sub forma

unde numerele a,b,c,d sunt prime intre ele doua cate doua.
Acum daca adunam si respectiv scadem, dam de

Faptul ca x,z sunt prime intre ele (altfel si y...) impune faptul ca bc este fie 1, fie 2, fie -1, fie -2. Putem sa o luam pe impartiri pe cazuri, dupa cum pot fi b,c cu aceasta proprietate, respectiv dupa cum putem alege semnul pentru a, d ca sa mai scapam de cazuri...

E greu sa descriu aici cum se pot duce calculele mai departe, daca se pot sau nu sau daca are sens sau nu... Cu x-ul ne aranjam de obicei destul de repede.

Sa zicem ca vrem mai departe sa dam de toate solutiile pentru
2zz = aaa + ddd

Atunci aceasta ecuatie se poate transa repede daca stim aritmetica in inelul factorial generat peste ZZ de

eventual folosind ca a si d sunt prime intre ele peste ZZ.

O nota despre ce program am folosit, se pare ca tot e buna si masina de socotit la ceva ... (O droaie de probleme si algoritmi "standard" vin cu baterii cu tot.)

sagemath are pagina aici:
http://www.sagemath.org/
De pe acest link sunt la indemana toate modalitatile de a face ceva cu sage.

MANUALUL este liber. (Se gaseste usor din linkurile de Documentation)

Fara a vrea sa impun omului ce sa faca, recomand folosirea linux-ului impreuna cu sage. (Se ia un computer vechi sau nou, - sau un stick daca oamenii sunt mai avari, se face rost de o partitie de 10 GB macar pe HD respectiv aia 2GB pana la 4GB pe stick, se instaleaza pe aceasta partitie un ubuntu, dupa care instalarea de sage este usoara. In cel mai rau caz se scrie la grupul google sagemath ca nu a mers respectiv se intreaba direct pe Freenode via un client de chat, de exemplu xchat. Daca trebuie insa instalat linux pe stick, atunci UNetBootIn va instala repede pe stick...)

Daca sunt intrebari, respectiv daca apare interes subit, rog a se da drumul la o tema noua undeva prin zona asta.

Oamenii scriu carti de zor...
http://wiki.sagemath.org/Teaching_with_SAGE
cateva linkuri, care ajung pentru moment.

La intamplare am gasit in format pdf:
http://cannelle.lateralis.org/sagebook-1.0.pdf (Toate politehnicile din lume ar putea invata ceva de aici la capitolul "matematici speciale"...)
http://users.aims.ac.za/~bruno/05-AppliedLinearAlgebra/
http://www.calvin.edu/~tmk5/courses/m231/S10/SAGEHelp.pdf

[Citat] O nota despre ce program am folosit, se pare ca tot e buna si masina de socotit la ceva ... (O droaie de probleme si algoritmi "standard" vin cu baterii cu tot.) sagemath are pagina aici: http://www.sagemath.org/ De pe acest link sunt la indemana toate modalitatile de a face ceva cu sage. MANUALUL este liber. (Se gaseste usor din linkurile de Documentation)

Am incercat sa gasesc un "sagemath" free executabil dar dupa dezarhivare nu gasesc niciun "exe"....Unde pot gasi ceva executabil?
Va mltumesc mult Domnule Profesor!

[Citat] Unde pot gasi ceva executabil?

Nu am reusit sa gasesc pe nimeni in imediata mea apropiere care sa foloseasca emulatorul (VMware) si sa posteze respunsul, asa ca trebuie sa raspund orb din ceea ce am vazut scurt. (Eu folosesc linux si la mine lucrurile merg din start...)

sage se foloseste cel mai bine din linia de comanda. Nu stiu numele executabilului care se instaleaza, dar acesta se instaleaza in interiorul unui emulator.
Numele este foarte probabil sage.
(In linux, executabilele nu anunta nicicum din coada lor ca sunt executabile. In linia de comanda, un fel de 'dir' din Wind*ows, se poate vedea clar daca sunt sau nu. Echivalentul lui 'dir' este 'ls' in linux. A se incerca 'ls -lt'.)
Emulatorul emuleaza in primul rand alt sistem de operare, linux.
El are o fereastra neagra, cred.
Ei bine aceasta fereastra neagra este mai puternica decat toate icoanele de pe desktop. Ea da acces la toate programele, ar trebui sa aibe istoria operatiilor, editare folosind combinatii de taste, cautare regexp in istorie, posibilitate de a schimba drepturile, permisiunile si posesiile...

In linux, mult se intampla intr-o astfel de fereastra neagra, asemanatoare cu cea din MS-DOS cand se da drumul la cmd (de exemplu: [Windows+R] iar in fereastra ce apare se tipareste cmd, apoi ENTER. Si din aceasta fereastra Wind*ows se poate da drumul la programe, de exemplu daca se tipareste notepad (urmate de enter), se da drumul la notepad.exe .
Iar 'explorer .' ar trebui sa dea drumul la un explorer cu directorul actual in ea.
Cam tot asa stau lucurile si in linux, ramas in acest stadiu stabil de copilarie cu comenzi mai bine tiparite explicit decat bagate in icoane.
Dar unele distributii linux sunt foarte aproape si de mirosul Wind*ows.
Doar Wind*ows a evoluat continuu si s-a specializat pe aplicatii comerciale protejate printr-un haos implementat pe crack-urile lor, icoane, ferestre, pop-up-uri si antivirusi. E ca-n razboi, cand pe la sfarsitul lui se striga: "Vi'rusii!")

Probabil ca tiparind sage in emulatorul VMware se da drumul la sage.
Daca apare prompter-ul sage: atunci asa e.

Asta e problema?

Cateva instructiuni se obtin citind *cu atentie*
http://www.sagemath.org/mirror/win/README.txt
sau alte documente legate de instalare.

In particular, un lucru deloc de neglijat, daca sunt intrebari mici sau mari legate de sage(math), se recomanda intrarea in chat-room (vreo 20 de persoane sunt pe acolo, majoritatea cu idle de cateva ore...)
- Se instaleaza xchat http://de.wikipedia.org/wiki/XChat
- se intra pe Freenode
- se intra pe canalul #sage-devel sau pe oricare altul ce are ceva cu sage pe el si in care este prezent un wstein sau asa ceva.
- se plaseaza o intrebare si se asteapta intre 5 secunde si o ora
- la cerere se da un copy+paste de ceea ce iese pe ecran, daca ceva nu functioneaza
- la sfarsit se multumeste pentru ajutor, lucru pe care il fac si ceilalti, pentru feed-back si interes.

un mod de a utiliza sage este si cel folosind forma "notebook", conectandu-se astfel la propria masina pe un port corespunzator. Mi-e greu sa explic aici, dar un astfel de sage liber este aici:
http://www.sagenb.org/

Screenshots:
http://www.flickr.com/photos/sagescreenshots/with/2131280369/

(Eu nu am folosit asa ceva, dar...)

Supliment: Lectiile de matematica pot fi pregatite folosind astfel de notebook-uri. Interactiv se pot plasa noi comenzi... (De exemplu daca e vorba de grafice si oamenii chiar nu cred ca polinoamele neconstane tind la plus sau minus infinit, se pot cere cateva grafice de functii polinomiale pana ce nimeni nu mai are nimic de obiectat. Aceasta metoda se numeste demonstratie prin convingere si se practica mai ales la scoalile din intreaga lume.)
Precizare: Mathematica si maple fac posibila o mai buna integrare in invatamant, costa insa bani pe care guvernul roman nu-i are (pentru scoli si cadre didactice - elevii nu voteaza inca. Daca elevii ar vota, deodata discutiile ar avea un caracter concret, poate ar apare ceva parcuri, terene de fotbal, handbal, basket si povestit organizat, piste de biciclete conexe, intrari libere la sali incalzite de film, muzee, discoteci si scoli, fiecare banca ar avea propria consola, iar profesorii vor trebui sa ceara scuze pentru intarzieri repetate si sa aduca adeverinta de la inspectorat).


N.B. Toate lucrurile sunt mai simple in linux. A se intreba in orice scoala daca stie cineva ceva de linux. (Daca stie cineva, inseamna ca nu sunt mai simple. Daca nu stie nimeni, am dreptate.)

N.B. Eu sunt un
domn profesgramator, lucru cu care ma simt foarte multumit, mai ales tinand cont de faptul ca pana acum computerul nu a lovit si inconjurat inapoi.

Toti cei ce vad acest mesaj sunt rugati sa ma tutuiasca, daca le e mai la indemana, moment in care si eu voi raspunde fara formalitati, simtindu-ma mai acasa.

(E bine de exemplu ca se programeaza scriind doar:
for i in 1 2 3 4; do wget $WWW/balul_bobocilor_$i.jpg; done
in loc de
Dear Mr computer, for i in 1 2 3; would You please do wget $WWW/balul_bobocilor_$i.jpg; thanks in advance
)

Pentru mine trecerea la persoana a II-a singular nu are nimic cu lipsa de respect, din contra, ea este de indicat intotdeauna cand comunicarea este in prim plan. Intr-o sala de operatii din secolul nostru fiecare tutuie pe fiecare, deoarece este mai greu sa se opereze cu propozitii de forma
"Domnule doctor doctor Paraschivescu, daca continuati operatiunea aorta s-ar putea afla in pericol de lezare..."
daca
"Gelu, lezezi aorta!"
ar ajunge (la timp)...
Deoarece si pe aceasta pagina operatiile de baza sunt in prim plan...

Utilizatorule TAMREF, zici ca esti pasionat de matematica, insa ce-ai zice sa mai lasi problemele AIURISTICE ca sa nu mai pui lumea pe aici sa-si piarda timpul cu ele??
Vii si propui tot felul de ciudatenii de teoria numerelor. Pai, tu stii cu ce se mananca domeniul asta?? Ai impresia ca , daca ptr a formula o problema de teoria numerelor e nevoie de cunostinte de-a 5-a, la fel e sa si o re\zolvi??
Nu stiu, dar mi se pare un mod de abordare NAIV si STUPID al matematicii sa propui aici ecuatii de gen x^n+y^n=z^n. Dumneata stii ca s-au chinuit matematicienii 400 de ani sa o rezolve si toti matematicienii din lumea din momentul actual care INTELEG solutia incap intr-o camaruta??

Ia pune tu si rezolva probleme adevarate, la care stii ca exista solutie. Exista zeci si sute de culegeri, site-uri, reviste electronice de nu ai timp o viata intreaga sa le iei pe toate la rand.Termina intai problemele la care se stie ca exista solutie(au fost date la un concurs, au aparut intr-o culegere/revista), si abia dupa aia arunca-te sa propui ecuatii la intamplare!
Insa mi-e greu sa cred ca dumneata chiar ai lucrat vreodata o problema adevarata. Din cate se pare pe aici ai ceva "restante" ca sa nu zic mai urat si la capitolul Logica matematica si RATIONAMENT CORECT.
Deci ia intai niste cursuri si-ti reactualizeaza cunostintele, termina apoi vreo 2-3 culegeri de teoria numerelor si abia apoi lanseaza-te in probleme gen marea teorema a lui Fermat, care sincer, nu e de nasul tau, fara suparare. Aia nu e nici macar de nasul unui olimpic international de-a 12-a, sa zicem. Asta ca sa vezi cat de aiurea pe aratura ai luat-o!!
Tu crezi ca in matematica exista solutie la orice problema, care se poate da asa, cu una cu doua?? Pai nu e nimic mai neadevarat! Mai ales in teoria numerelor!
Si ce-i cu inflatia asta de "PRIME INTRE ELE"?? Ca ne-ai umplut capul,pac scoti oe cuatie(le visezi noaptea) si trantesti acolo si un "prime intre ele"/. Am impresia ca doar la asta se reduc cunostintele tale de teoria numerelor.
Nu-i nimic rau in a propune probleme de-aiurea, insa pune intai si rezolva niste probleme rezonabile ! Si sa vezi cum o sa te temperezi rapid si o sa-ti dai seama ca in matematica "nu tot ce zboara se manaca" si n-o sa mai umbli cupa cai verzi pe pereti!
Ce-i cu "pasiunea"
asta pentru probleme aiuristice??
Unii s-au coborat la nivelul tau, insa la ce bun sa ti se vorbeasca despre inele factoriale si curbe eliptice cand dumneata ai ramas la " diferite de zero si prime intre ele"???
realizezi macar ca esti putin ridicol??

E drept ca am avut mult de munca si de lamurit si ca acea conditie de primalitate relativa a venit ca un fel de "Ce mai faceti, vreme faina azi..." (fara directa legatura cu esenta problemei) dar unele probleme propuse au un miez adanc.

In matematica din lume exista matematicieni si matematicieni, unii au o inclinatie deosebita spre partea "exacta" a lucrurilor (obiectele exista daca sunt bine definite si doar atunci ne legam de proprietatile lor), altii - nu neaparat in minoritate - un fel de inclinatie spre partea "fenomenologica" a lucrurilor (o proprietate "ubicua" castiga prim plan si intamplator se aplica si pe lucruri unde nu are neaparat sens, decat daca i se da...)
Drumul bun al unei scoli este
de a-i face pe cei din categoria strictetii sa intre in fantezie
si pe cei ce sunt deja in lumea viselor a-i ordona sa ne comunice si noua ce face Alice in Tara Minunilor.

Din a doua categorie fac parte in special fizicienii si informaticienii, care descopera si abordeaza cu metodele lor parti "nestandard" din matematica. Dau doarcateva exemple:

Formula lui Verlinde, numele lui Gerd Faltings trebuie amintit aici, dar subiectul provine din fizica... din fericire, numele fizicianului a ramas
http://en.wikipedia.org/wiki/Erik_Verlinde

Moonshine (da, asa ceva exista in matematica ca obiect), desigur,
http://en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine, Richard E. Borcherds este unul din numele mari care il amintim, dar el subsumeaza munca a multi "experimentatori" al caror nume nu a ramas (poate fiindca nu au putut sa se exprime intr-o limba exacta... dar mai ales pentru ca structura era foarte complicata si )

calcule cu simboluri in K-Teoria Numerelor, desigur, Don Zagier este matematicianul, dar multi "experimentatori" l-au vizitat si el asculta foarte interesat... Ideea era ca "informaticienii" aplicau "orb" anumiti (poli)logaritmi pe anumite "simbolori" pana dadeau de zerouri...

nu in ultimul rand, dar poate un exemplu de alta natura, Birch si Swinnerton-Dyer sunt doi matematicieni, care folosind calculatorul au descoperit si motivat in acest mod o anumita legatura neasteptata... Ei s-au exprimat perfect matematic, dar mai mult de o decada (la nivel respectiv de matematica) lumea nu i-a luat in serios... Azi gasim numele lor...
http://de.wikipedia.org/wiki/Vermutung_von_Birch_und_Swinnerton-Dyer
la loc de cinste, desi forma actuala a conjecturii nu are nimic de-a face cu enuntul initial, forma pe care cei doi poate nu ar recunoaste-o (ca fiind a lor)...

In matematica, discutiile trebuie sa mearga in sensul comunicarii, al cautarii de colaborare si al progresului. Daca sunt urme de "cearta" pe forum, acestea sunt - ca si in viata - numai diferende pe teme de estetica si credo,
ele au intotdeauna loc in continuu respect reciproc, lucru important pe acest site.

TAMREF este in orice caz un om bine venit pe acest site, viata este lunga, el - ca fiecare dintre noi - are sanse mari sa bata o conjectura sau alta, iar sanselel ii sunt si mai mari daca posteaza, iar ale cititorilor de asemenea, daca citesc cu atentie si folosesc ce e folosibil.
Din discutii el a aflat de exemplu ca exista o intreaga teorie si structura in spatele acelor probleme "disparate" de grad algebric mare,
- ce-i drept banuia ca banuiam ca are la indemana o faminile de solutii particulare -
iar eu - in incercarea de a raspunde, am vazut ca intr-adevar ecuatia respectiva este suficient de bogata in solutii. Orice conexiune poate conduce la o publicatie, un prim pas pragmatic pentru a ramane in spatiul de cercetare.

Rog a se posta mereu si continut matematic.
(30% de parte (in)direct legata de matematica in fiecare postare sunt bine venite. Nici eu nu reusesc sa ajung la 0% polemica, dar incerc sa ma tin sub 10%.)

Suntem intr-o perioada sensibila a anului, sa stergem cu buretele cele de mai sus. Ramane doar faptul ca doresc tuturor ce citesc aceasta linie un An Nou bun, sanatate, bucurie, putere de munca si creativitate!