Sa se rezolve ecuatia

unde x,y,z sunt numere intregi diferite de zero si prime intre ele.

Care este sursa problemei?

[Citat] Care este sursa problemei?

As vrea sa cred ca eu sunt autorul,dar deoarece am dubii asupra modului de rezolvare a aceste probleme astept raspunsuri.As fi postat aceasta problema la "Problema saptamanii" dar acolo mi se cere modul de rezolvare....asupra careia eu am dubii.Deoarece nu sunt sigur ca eu sunt autorul problemei am hotarat sa postez aici.

[Citat] [Citat] Care este sursa problemei? As vrea sa cred ca eu sunt autorul,dar deoarece am dubii asupra modului de rezolvare a aceste probleme astept raspunsuri.As fi postat aceasta problema la "Problema saptamanii" dar acolo mi se cere modul de rezolvare....asupra caruia eu am dubii.Deoarece nu sunt sigur ca eu sunt autorul problemei am hotarat sa postez aici.

OK, hai s? vedem care e modul de rezolvare la care v-a?i gândit.

[Citat] [Citat] [Citat] Care este sursa problemei? As vrea sa cred ca eu sunt autorul,dar deoarece am dubii asupra modului de rezolvare a aceste probleme astept raspunsuri.As fi postat aceasta problema la "Problema saptamanii" dar acolo mi se cere modul de rezolvare....asupra caruia eu am dubii.Deoarece nu sunt sigur ca eu sunt autorul problemei am hotarat sa postez aici. OK, hai s? vedem care e modul de rezolvare la care v-a?i gândit.

Din ecuatie rezulta ca

si

, adica

.Eu am gasit deocamdata doar urmatoarele solutii:

,

,

si respectiv

,

,

.Oare mai sunt si alte solutii?Cert este ca este necesar ca

, unde n este un numar impar.

[Citat] Din ecuatie rezulta ca si

În?eleg c? a?i f?cut urm?torul ra?ionament:

este echivalent cu

?i de aici a?i dedus c?

?i c?

.
Acest lucru este gre?it.

Ecua?ia dat? are o infinitate de solu?ii, dar nu neap?rat cu necunoscutele prime între ele. Nu ?tiu, dar nu cred ca se poate g?si forma general? a acestora.

[Citat] [Citat] Din ecuatie rezulta ca si În?eleg c? a?i f?cut urm?torul ra?ionament: este echivalent cu ?i de aici a?i dedus c? ?i c? . Acest lucru este gre?it. Ecua?ia dat? are o infinitate de solu?ii, dar nu neap?rat cu necunoscutele prime între ele. Nu ?tiu, dar nu cred ca se poate g?si forma general? a acestora.

De ce e gresit???Asa am obtinut doua solutii si de fapt mai sunt inca doua solutii caci x poate lua si valoarea -3.Problema se pune sa se gaseasca numai numere nenule si prime intre ele.

Trei semne de intrebare?
Bun, in matematica cuvantul echivalent inseamna ca avem implicatii in ambele parti. Rog a se citi cu atentie cele scrise, mai ales daca avem de-a face cu probleme complicate.

Cand cineva "inventeaza" o problema se poate declara din partea mea inventator. Dar nu trebuie creata impresia ca inventatorul poseda o solutie matematica, daca nu o poseda. Este un lucru neetic, neciviliazt si necioplit. Bun, sa zicem ca este o omisiune din criza de timp. Chiar si in acest caz, mai sunt oameni indulgenti pe aici care trec cu vederea aceste lucruri si se concentreaza asupra partii matematice a lucrurilor. Pe acest forum se afla oameni care au "vazut" multa matematica la viata lor, au fost la olimpiade de toate culorile si au publicat articole unde nu se publica usor, acolo au demonstrat calitatea gandirii si precizia in formulare. Fata de astfel de oameni eu am mult respect si am grija ce spun si nu ma apuc sa le stric ziua. Iar daca le stric ziua am grija sa cer scuze de exemplu. Recomand pe viitor un mod mai pasnic de discutie.

Mai sus am vazut cu totii si "solutia" (pe scurt pentru metoda de rezolvare sau incercare de rezolvare sau descoperire de solutii particulare prin incercare sau reformulare a ecuatiei si cautare de solutii ce indeplinesc conditii restrictive particulare) inventatorului problemei. Unde se foloseste in aceasta "solutie" faptul ca tripletul (x,y,z) nu are un divizor (comun pentru x,y,z)? Unde?

De mai multe ori am remarcat faptul ca impunerea conditiei de primalitate relativa se face de obicei in lumea asta doar pentru ecuatii diofantiene omogene -aici doar pentru a simplifica scrierea solutiei- . Inca o data mi se provoaca furia. Se exclude astfel
63^2 + 36^3 = 15^4
desi nu putem face rost de o solutie "mai mica" vizionand divizorul comun 3 pentru 63, 36, 15. Aceasta cerinta de primalitate mai mult incurca decat ajuta! Si anume ne incurca pe noi, cei ce chiar incercam sa rezolvam... Ca sa fie clar: Diofant si cei de teapa lui au fost in Grecia antica poate in cautare de numere cum sunt 3,4,5 si 5,12,13 pentru ca ei luau o funie mare si puneau pe ea multe noduri, incat sa apara segmente de lungime egala, de toate 3+4+5 sau 5+12+13. Apoi se duceau pe camp si faceau o parcela intinzand funia ca sa dea de un triunghi cu laturile 3,4,5 respectiv 5,12,13. Pe ei nu-i mai interesa si solutia 6,8,10 pentru ca nu erau experti in innodat rapid. Vizionarea divizorului comun i-a ajutat. Foarte repede faceau rost de un dreptunghi 3x4 respectiv 5x12 si puteau imparti un lot la fata locului intre mai multi oameni.

Sa zicem acum ca Diofant si ai lui din secolul nostru vor sa rezolve ecuatia
xx + yyy = zzzz
in necunoscutele intregi x,y,z.
Atunci ei nu vor respinge solutia de mai sus cu divizorul comun 3. Si nici solutiile...
28^2 + 8^3 = 6^4
65023^2 + (-1617)^3 = 14^4
3420^2 + (-224)^3 = 26^4
pentru ca fiecare este o solutie veritabila a ecuatiei.

Unde s-a scapat "intamplator" in "solutie" / "mod de rezolvare de exemplu ca mai avem si

29^2 + (-6)^3 = 5^4
76^2 + (-15)^3 = 7^4
397^2 + (-42)^3 = 17^4
....
4785^2 + 136^3 == 71^4
....

?

[Citat] Unde s-a scapat "intamplator" in "solutie" / "mod de rezolvare de exemplu ca mai avem si 29^2 + (-6)^3 = 5^4 76^2 + (-15)^3 = 7^4 397^2 + (-42)^3 = 17^4 .... 4785^2 + 136^3 == 71^4 .... ?

Toata stima Domnule Profesor!Ca intotdeauna aveti un raspuns excelent!
A fi inventator nu inseamna neaparat ca esti si un specialist.Daca presupunem ca Fermat (care a fost unul din cei mai mari matematicieni) nu cunostea rezolvarea asa zisei probleme "Marea Teorema a lui Fermat" atunci asta inseamna ca el nu ar fi inventatorul acestei teoreme?Eu nu sunt specialist si nici nu vreau sa inventez ceva in matematica sau in alt domeniu dar sunt un umil pasionat de matematica si fizica.Sunteti amabil sa-mi spuneti cu ce algoritm ati gasit ultimile solutii?
--------------
De fapt pe mine ma intereseaza generalizarea problemei propuse.

Generalizarea problemei propuse:
Pentru ce valori naturale ale lui n ecuatia

nu are solutii unde x,y,z sunt numere intregi nenule si prime intre ele?

Am gresit scrierea...repet:
Generalizarea problemei propuse:
Pentru ce valori naturale ale lui n ecuatia

nu are solutii unde x,y,z sunt numere intregi nenule si prime intre ele?