|
|
|
|
iBac = materialul ULTRACOMPLET de pregătire pentru bac la mate. Dacă vrei poţi.
|
|
 |
|
 |
[1]
| Autor |
Mesaj |
|
|
Buna ziua , sunt stud la UTCN calculatoare si am nevoie da ajutor pt o problema relativ usoara dar eu nu am prea inteles principiul .
Sa calculez diferenta divizata pentru
[x0,x1,...,xn;x^n+1]=?
si
[x0,x1,...,xn;x^n+2]=?
daca se poate rezolvare explicita c explicati;
Multumesc anticipat.
---
adiiy
|
|
|
[Citat]
Sa calculez diferenta divizata |
Nu inteleg exact ce doriti. Cerinta citata nu prea are sens.
|
|
|
[Citat]
Buna ziua , sunt stud la UTCN calculatoare si am nevoie da ajutor pt o problema relativ usoara dar eu nu am prea inteles principiul .
Sa calculez diferenta divizata pentru
[x0,x1,...,xn;x^n+1]=?
si
[x0,x1,...,xn;x^n+2]=?
daca se poate rezolvare explicita c explicati;
Multumesc anticipat. |
Buna!
Din pacate o tabla este locul mai bun de prezentat astfel de lucruri.
(Iar o facultate este platita sa explice astfel de lucruri, nu sa treaca prin pomenire cu putere intr-un tempo nebun prin materii precum iepurele prin zarzaWatt.)
De asemenea, notatiile nu sunt standard. (Lucru obisnuit cand matematicianul se apropie de numerica, cercetari operationale sau matematici financiare.)
Ma refer pentru notatii (usor ambigue) si mai ales la plasarea pe pagina la http://en.wikipedia.org/wiki/Divided_differences#Example .
Deoarece intelegerea este mai importanta -sper- decat solutia explicita aici, luam un exemplu explicit, anume n=3.
Atunci avem de trecut prin diferente divizate functiile IR -> |R (x -> x la a patra) respectiv (x -> x la a cincea). Iata de ce dam -avand mainile legate si nici o teorema (din acel curs)... :
Aici:
Cu tiparitul nu ma am prea bine aici, dar daca as avea o foaie de hartie...
Rog a se transpune cele de mai sus pe hartie si pentru puterea a cincea si a se vedea asemanarile in calcul. Rezultatele sunt standard in teoria functiilor simetrice si in legatura cu interpolarile.
Din punct de vedere pur algebric, din diferentele divizate se obtin cam derivatele...
Atentie, unii autori nu au aceeasi numitori.
Trebuie sa ma gat aci, daca sunt intrebari pot poate sa revin mai punctat la obiect. Ideea generala trebuie sa fie insa clara deja.
---
df (gauss)
|
|
|
deci cerinta este:
Sa se calculeze diferenta divizata [x0,x1,...,xn;x^n+1]=?
unde x0,x1,...,sunt nodurile polinomului de interpolare (deci cred ca este o diferenta de ordin n) si x^n+1 inseamna x la puterea n+1 care este functia din diferenta divizata .
la fel si pentru [x0,x1,...,xn;x^n+2]=?
am inteles formula pt 1,2,3,4 noduri dar aici nu am inteles.
daca puteti sa rezolvati explicit cele 2 exercitii ?
va multumesc
---
adiiy
|
|
|
Bun, demonstratia este mai scurta decat incercarea de indicatie...
Fie N un numar natural > 0 .
(Problema propusa are de-a face cu N=n+1 respectiv cu N=n+2.)
Fie f : IR -> IR functia putere a N-a, f(x) = x^N pentru orice x real.
Fie k fixat mai mare sau egal cu 0.
Fie x0, ... , xk puncte distincte (in numar de (k+1)) pe axa reala. f le duce respectiv in
y0, ... , yk.
Demonstram prin inductie dupa k cu proprietatea ca N-k mai traieste (in numere naturale):
In cuvinte:
Diferenta divizata ceruta este suma tuturor monoamelor de grad N-k ce pot fi construite in cele (k+1) variabile x0, ... , xk.
Demonstratie.
Cazul k=0 este evident, [y_0]=y_0=f(x_0)=(x_0 la puterea N-0) este suma monoamelor de grad (N-0) ce pot fi construite in singura variabila x_0.
Fie un k fixat, astfel incat (k+1) sa mai incapa "sub N".
Presupunem prin inductie... Fie cele (k+1)+1 puncte...
Atunci:
si mai departe in cuvinte, pentru ca deja m-am saturat de indici.
(Si ma indoiesc tare ca se intelege ideea daca continui indiciada...)
Avem de destelenit afacerea suma minus suma. O suma se obtine din cealalta inlocuind x_0 cu x_{k+1}. Toate celelalte litere raman pe loc. Ele formeaza - pentru cate un fiecare termen/sumand - cate un monom M dintr-o suma respectiv din cealalta - in celelalte litere. Il dam factor comun. Facem rost de o droaie de expresii de forma
Acum ne uitam la numitorul (x_0-x_{k+1}) si putem imparti algebric:
Acest numitor face sa scada gradul expresiei algebrice.
Foarte repede vedem ca daca facem si suma dupa toate M-urile ce apar, obtinem ce trebuie.
Gata.
N.B. Banuiesc ca in curs s-au dat rezultate pe care le-as fi putut folosi...
Care sunt deci explicit raspunsurile? (Sau intrebarile ramase...)
---
df (gauss)
|
|
|
in curs raspunsul
la [x0,...,xn;x^n+1]= x0+x1+x2+...+xn
si la [x0,...,xn;x^n+2]=suma cand i=0,..,n din x indice i la patrat+suma cand i<j
din x indice i *x indice j
---
adiiy
|
|
|
Chiar acest lucru l-am demonstrat mai sus. In cuvinte:
Fixam un n. Luam punctele x0, ... xn distincte.
(A)
Luam in cele de mai sus prezentate / demonstrate N=n+1. Atunci ar trebui sa fie clar macar enuntul la ce am demonstrat, anume ca
[ x0, x1, ... , xn : x-> x^N = x^(n+1) ]
este o expresie simetrica in x0, x1, ... xn, de gradul N-n = 1 deci intervin numai monoame de grad unu in "literele" x0, ... , xn, anume fiecare astfel de monom imaginabil exact o data. Dam astfel de suma
x0 + x1 + ... + xn
(B)
Luam in cele de mai sus prezentate / demonstrate N=n+2. Atunci demonstrat ca
[ x0, x1, ... , xn : x-> x^N = x^(n+1) ]
este o expresie simetrica in x0, x1, ... xn, de gradul N-n = 2 deci intervin numai monoame de grad doi in "literele" x0, ... , xn, anume fiecare astfel de monom imaginabil exact o data.
Ce fel de monoame putem construi?
Pai fie intervine una din "literele" xi singura la patrat,
fie intervin doua "litere" diferite xi si xj iar momomul respectiv e (xi)(xj).
Deoarece nu avem voie sa le luam de doua ori dam astfel de suma...
Un mic comentariu deplasat...
(Cand am intrebat care sunt explicit raspunsurile am vrut sa verific daca nivelul acesta de abstractizare poate fi digerat...)
Sunt sigur ca in curs s-au dat rezultate care pot fi folosite pentru avea o demonstratie "intr-o linie" pentru cele cerute. (In particular poate chiar s-a demonstrat *exact* ce am aratat eu mai sus.)
Bunurile unei tari nu sunt numai padurile si furnalele, lucruri la care intre timp stam din ce in ce mai rau, dar si partea umana de cultura, cunostinte si vointa comuna de a trece prin viata cu demnitate si etica.
O mica contributie ar fi acea in care fiecare om platit de stat sa faca educatie isi prezinta ora, cursul, experienta intr-un mod usor accesibil si cinstit. (Fara a face de exemplu stiinta dintr-o insiruire de propozitii ce trebuie sa apara in aceasi forma in examenul oral sau scris.)
Astfel consider ca este timpul sa li se spuna celor de la toate catedrele ca nu cei din sala sunt pentru ei, ci invers. A edita si pune la bataie materiale didactice este un lucru natural, care nu trebuie sponsorizat suplimentar de stat in proiecte distribuite deamoacratic. Este un gest de curaj, de expunere a posibilelor ineptii sau greseli simple si ii asigur pe toti ca eu nu am fost scutit de pasi in astfel de directii. Este si un gest de expunere fata de "culegatorii de texte" care pun mai departe sigla proprie pe cele tocmai copiate si/sau compilate. Si este o munca grea. Totusi, imi permit sa intreb:
Unde sunt cursurile astea de diferente divizate pe net? De ce se pun mai intai probleme teoretice despre astfel de constructii relativ abstracte daca oamenii oricum nu afla la timp ca asa ceva are importanta in numerica (interpolare). Cum se incadreaza aceasta materie in ceea ce se face la facultate ca un tot unitar? (In definitiv, de ce nu se face asa ceva si la facultatea de arte plastice?) Oamenii astia de la catedra au ajuns asa de inconstienti / autisti ?
Studentii trebuie sa se articuleze la ore!
A pune intrebari clare si la obiect nu este o afacere usoara, de aceea se fac relativ rar astfel de afaceri. Dar incurajez pe oricine sa faca incercari modeste de a pune intrebari in lucrurile neclare. Punerea intrebarii implica deja un pas de comunicare si o prima incercare de ordonare a gandurilor. Comportamentul (educatia de acasa) si limbajul (compunerile de la scoala, alea multe scrise prin copiere sau capiere) dau in sfarsit roadele.
---
df (gauss)
|
|
|
[Citat]
Un mic comentariu deplasat... |
E trist faptul c? nu e deloc deplasat...
| [1]
|
Legendă:
|
 Access general
|
 Conţine mesaje necitite
|
47558 membri,
58582 mesaje.
|
|
|
|
 |
|
 |
© 2007, 2008, 2009, 2010 Pro-Didactica.ρ
|
