Sa se rezolve in multimea numerelor intregi ecuatia:

Notez cu a numarul 2009 si cu b numarul 2010 ca sa mai economisesc din biti pe site.
Ecuatia data

se rescrie echivalent (dupa inmultire cu a si completare la ceva factorizabil)

Problema se reduce deci la o verificare a unui numar finit de cazuri, pe partea dreapta fiind bb = (2010 la patrat), un numar cu un numar finit de divizori intregi.
Din momentul acesta in acest secol se pune la lucru computerul si se da repede de solutie:
cod sage

Rezultate:

Solutie: x = 1 y = -2010
Solutie: x = 0 y = 0
Solutie: x = -2010 y = 1

Totusi, deoarece inca multi traiesc in nostalgia vremurilor de demult in care se optimizeaza la maxim cele cateva cazuri de verificat, ajunge sa ne legam de divizorii intregi ai lui bb care sunt congruenti cu -b modulo a.
(d, divizor intreg, este de forma ax-b.)
De asemenea, pentru elevii care sunt obligati si ei sa traiasca nostalgic, iata in cazul nostru ce e de rezolvat:

Care sunt divizorii intregi ai lui bb = 2010^2 care sunt congruenti cu -2010 sau -1 sau 2008 cu 2009? (Daca am gasit un astfel de divizor d al lui bb, si "complementul lui" bb/d este la fel de bun - si repede dam de o solutie.)

Avem de rezolvat: Pentru care n cam intre -2011 si 2011 este d = 2009n -1 un divizor al lui bb = 2010^2 ?
Deci pentru care n facem rost de un M intreg ("relativ mic") cu

Luam afacerea de mai sus modulo 2009 si dam de faptul ca M este congruent cu -1 modulo 2009. Nu sunt prea multe sanse si dam de existenta unui m intreg cu

Cel mai simplu este aici
- analiza cazurilor m=0 si n=0 in special si
- altfel, daca stim ca |m|, |n| sunt mai mari sau egale cu 1 , tragem module si majoram/minoram. Rezulta ca mn poate lua doar valoarea 1.

Asa chiar nu mai e nevoie de computer.

Daca m este zero, n este -2010, deci (2009n-1) este divizorul -2010^2 si mai rezolvam (2009x-2010)= -2010^2 . Dam de x = -2010. Apoi de y=1.

Daca n este zero (2009n-1) este divizorul -1 si mai rezolvam (2009x-2010)= -1 . Dam de x = 1. Apoi y=-2010.

n=1 se exclude, deoarece 2008 nu divide 2010^2.

Ramane cazul in care m=n=-1. Dam repede de x=y=0.

[Citat] Notez cu a numarul 2009 si cu b numarul 2010 ca sa mai economisesc din biti pe site. Ecuatia data se rescrie echivalent (dupa inmultire cu a si completare la ceva factorizabil)

Exact la asta ma gandisem si eu ,din acest motiv:
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=18121,
apoi am scris

si m-am apucat sa caut dupa 2009 pana m-a luat ameteala ...