se dau vectori OA=12i-4j+3k, OB=3i+12j-4k ,OC=2I+3J-4K SSA SE AFLE LUNGIMILE TRIUNGHIULUI ABC SA SE ARATE CA TRIUNGHIUL AOC ESTE DREPTUNGHIC, IAR AOB ESTE ISOSCEL SA SE CALCULEZE PRODUSUL SCALAR AB . BC MULTUMESC ANTICIPAT

[Citat] Se dau vectorii (1) Punctele A,B,C determina un triunghi ABC. Sa i se calculeze lungimile laturilor. (2) Sa se arata ca triunghiul AOC este dreptunghic. (3) Sa se arata ca triunghiul AOB este isoscel. (4) Sa se calculeze produsul scalar AB.BC .

Pentru cei ce lucreaza mai bine cu puncte decat cu vectori, putem alternativ considera punctele O,A,B,C de coordonate:

Calculatorul calculeaza foarte repede toate lungimile de laturi dintre cele patru puncte cu o formula bine cunoscuta:
Cod sage:

def d(a,b): return sqrt( sum( [ (a[j]-b[j])^2 for j in range(3) ] ) )

O = (0,0,0)
A = (12,-4,3)
B = (3,12,-4)
C = (2,3,-4)
Puncte = [ O,A,B,C ]
for k in range(4):
for l in range(k+1,4):
X = Puncte[k]
Y = Puncte[l]
print "Distanta( %s, %s ) = %s" % ( X,Y, d(X,Y) )


Distanta( (0, 0, 0), (12, -4, 3) ) = 13
Distanta( (0, 0, 0), (3, 12, -4) ) = 13
Distanta( (0, 0, 0), (2, 3, -4) ) = sqrt(29)
Distanta( (12, -4, 3), (3, 12, -4) ) = sqrt(386)
Distanta( (12, -4, 3), (2, 3, -4) ) = 3*sqrt(22)
Distanta( (3, 12, -4), (2, 3, -4) ) = sqrt(82)


(1) Ultimele trei distante sunt lungimile cerute de laturi.

(2) Patratele laturilor lui AOC sunt
OA la patrat = 13^2=169,
OC la patrat = 29 si
AC la patrat = 9x22 = 198 = 169+29 . Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, AOC este triunghi dreptunghic. Varful drept e in O.

O a doua solutie se da (dupa ce stim sa cautam unghiul drept in O cel tarziu) calculand pur si simplu produsul scalar:
OA . OC = 12x2 +(-4)x3 + 3x(-4) = 12(2-1-1) = 0 .
Produsul scalar se anuleaza, deci vectorii OA si OC stau perpendiculari unul pe celalalt.

(3) De mai sus, lungimile lui OA si OB sunt 13, deci OAB e triunghi isoscel...

(4)

De obicei gresesc la calcule de lucruri nestructurale, sper totusi ca ideea e clara...