Daca suma vectorilor OA,OB,OC,OD este vectorul nul(O intersectia diagonalelor patrulaterului ABCD),cum demonstram ca ABCD paralelogram?

[Citat] Daca suma vectorilor OA,OB,OC,OD este vectorul nul(O intersectia diagonalelor patrulaterului ABCD),cum demonstram ca ABCD paralelogram?

O problema asemanatoare este:
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=28423

In cazul de fata solutia vectoriala este simpla.

Din cele date, punctele O,A,B,C,D traiesc in acelasi plan. Patrulaterul dat este nedegenerat, altfel nu putem spune pronunta cuvantul "intersectia".

Sa zicem ca pe o diagonala stau A,O,C si ca pe alta, cu "suport diferit" se afla B,O,D.
Atunci vectorii OA si OB (nenuli) formeaza o baza a spatiului.
Din cele date (A,),C coliniare, B,O,D coliniare) exista scalarii c,d cu
OC = c.OA
OD = d.OA

Obtinem urmatoarea combinatie liniara nula de vectori (OA si OB) ce formeaza o baza:
O (vectorul zero) = OA + OB + OC + OD = (1+c).OA + (1+d).OB
deci (1+c) = (1+d) = 0, deci c=d=-1, deci C este simetricul lui A fata de O, idem D fata de B. Deci ABCD paralelogram.

N.B. (Daca OA este eventual nul in gandirea celui ce demonstreaza in momentul... atunci ne legam de OC in loc de OA. Ar fi si culmea sa avem anulare si pentru OA si pentru OC, deco A=C, deci "diagonala AC" este ceva foarte interesant.)

Vectorii OA si OC au aceeasi directie ( a diagonalei AC), deci suma lor (daca nu e nula) este un vector OM, cu aceeasi directie.
Vectorii OB si OD au si ei aceeasi directie ( a diagonalei BD) deci suma lor (daca nu e nula) este un vector ON avand directia diagonalei BD.

Deoarece suma celor 4 vectori este nula, deducem ca suma vectorilor OM si ON este, de asemenea, nula. Dar, daca nu sunt egali cu zero, acesti doi vectori au directii diferite, deci suma lor nu poate fi zero.

Rezulta ca OM=ON=0, deci OA=-OC ( ca vectori) si OB=-OD, de unde deducem ca ABCD este paralelogram.