Comparati:

5 la puterea a8-a cu 2 la 15+2x4 la 7

.
Avem

Dar daca avem de comparat

.

[Citat] Dar daca avem de comparat .

In primul rand trebuie sa obisnuim copiii (ce nu stiu de log sau nu stiu deloc) cu gandul ca noi rezolvam "altfel" aceste probleme.

Astfel cerem mai intai calculatorului un logaritm al expresiilor:

ln( 2.^111 * 5.^38 )
111 * ln(2.) + 38 * ln(5.)

ln( 3.^131 )
131 * ln(3.)

ln( 10.^74 )
74 * ln(10.)

ln( 6.^123 )
123. * ln(6.)

Facem rost de:
Valori

sage: ln( 2.^111 * 5.^38 )
138.097977714650
sage: 111 * ln(2.) + 38 * ln(5.)
138.097977714650
sage:
sage: ln( 3.^131 )
143.918209815522
sage: 131 * ln(3.)
143.918209815522
sage:
sage: ln( 10.^74 )
170.391296881559
sage: 74 * ln(10.)
170.391296881559
sage:
sage: ln( 6.^123 )
220.386414715051
sage: 123. * ln(6.)
220.386414715051

Bun, acum stim cam cum stau lucrurile. Mai cerem o aproximatie cu numere rationale (cu numaratori si numitori "mici") in partea care trebuie (in sensul inegalitatiilor cerute implicit, fara sa ni se spuna insa daca e un < sau un > pentru

RR = ContinuedFractionField()

a = RR( ln( 2. ) / ln( 3. ) )
b = RR( ln( 5. ) / ln( 3. ) )
c = RR( ln( 10. ) / ln( 6. ) )

a.convergents()
b.convergents()
c.convergents()

Obtinem:

sage: a.convergents()
[0, 1, 1/2, 2/3, 5/8, 12/19, 41/65, 53/84, 306/485, 665/1054,
15601/24727, 31867/50508, 79335/125743, 111202/176251, 190537/301994,
10590737/16785921, 10781274/17087915, 53715833/85137581]

sage: b.convergents()
[1, 3/2, 19/13, 22/15, 41/28, 63/43, 230/157, 1673/1142, 5249/3583,
6922/4725, 12171/8308, 140803/96113, 434580/296647, 3182863/2172642,
3617443/2469289, 28504964/19457665, 60627371/41384619,
89132335/60842284, 149759706/102226903]

sage: c.convergents()
[1, 4/3, 5/4, 9/7, 293/228, 302/235, 595/463, 165712/128949,
166307/129412, 332019/258361, 830345/646134, 4483744/3489031,
5314089/4135165, 25740100/20029691, 31054189/24164856, 87848478/68359403]

E bine de stiut ca in fractiile continue ale caror "convergente" le calculam obtinem aproximari succesiv inferioare, superioare, inferioare...

Acum trecem la solutie, scriind doar lucruri de clasa a V-a:
(a)
Observam ca 2^3 < 3^2 si ca 5^2 < 3^3 (adica ca 8<9 si ca 25<27) . Daca aceste aproximari nu functioneaza, probabil ca trebui sa mergem la 524288 = 2^19 < 3^12 = 531441, ceea ce psihologic nu se mai poate cere. dar se pare ca se cere incercarea "babeasca" cu 8<9. Ori merge, ori...
Dar pentru linistire, avem:

(b) Solutia pe care o pot da, ca sa mai terminam mai repede, ar fi sa filam acea fractie convergenta 9/7. Si intr-adevar 6^9 = 10077696 este un numar aproape de si ceva mai mare decat 10^7. Cred ca la nivel de a cincea este calculabil 216 * 216 * 216...
Macar in secolul nostru, au si ei ceva de calculat in buzunar...
Atunci:

Desigur ca "solutia intentionata" era cea de a sparge inegalitatea data folosind 10 = 2x5 si 6=2x3 pentru ca sa avem noroc ca sa ramana doar 3-uri pe partea mai mare. Si am fi avut noroc...

Am postat exercitiile de mai sus,doar ca exemplu de "cum nu trebuie sa arate" un exercitiu cu puteri;dupa parerea mea astfel de exercitii nu dovedesc aproape nimic despre cat de bine e pregatit un copil, si daca stau bine sa ma gandesc la ce capacitate de calcul au calculatoare azi comparatul asta de puteri e un job pierdut...