NU RADETI.....CUM CALCULEZ 27,(9)...EU AM CALCULAT SI-MI DA 252 SUPRA 9 CEEA CE INSEAMNA 28??????????

Nu-i de ras...
Problema mai simpla este de a intelege care este diferenta dintre numerele
0,(9)
si
1
Ei bine, este ceva mai mic decat
0,1 = 1 - 0,9 deoarece 0,(9) este intre aceste numere despartite de minus,
0,01 = 1 - 0,99 deoarece 0,(9) este intre aceste numere despartite de minus,
0,001 = 1 - 0,999 deoarece 0,(9) este intre aceste numere despartite de minus,
...
Deci diferenta, un numar mai mare sau egal cu zero,
este ceva mai mic decat "orice epsilon >0".
Pe a XI-a cel tarziu oamenii sunt convinsi ca acest numar este zero.

Nu este un paradox, ci doar faptul ca scrierea zecimala nu este unica in exact astfel de cazuri in care ultimele zecimale provin din perioada (0) sau din perioada (9). De exemplu numerele urmatoare sunt egale:
237854234,28973425698374(9) si
237854234,28973425698375(0) .

Intr-un manual de clasa a 8-a ,dupa care am predat acum vreo doi ani scria :"din motive de unicitate a scrierii nu exista fractii periodice de perioada 9",mi-a palcut explicatia si am adoptat-o pentru ca ma scutea de argumente in plus...
intr-un curs de analiza pe care l-am citit asta vara scria:"definim multimea numerelor reale ca fiind multimea fractiilor zecimale finite si infinite neperodice sau periodice de perioada diferita de noua".Buna si asta...

Nu e vorba de unicitate a scrierii sau altceva. Pur si simplu, scrierea ca fractie zecimala a unei fractii ordinare se face aplicand algoritmul impartirii. Astfel, daca in scrierea zecimala a fractiei

am obtine perioada (9), atunci la 2 impartiri succesive catul ar fi 9. Daca

este restul la prima impartire, atunci la a doua avem

, adica

, absurd.
Deci nu exista fractii zecimale cu perioada (9), asta nefiind o conventie sau altceva.

Da...mul?umesc de explica?ie,recunosc c? nu m? gândisem la asta.

Prin definitie, daca a1, a2, a3, ... sunt cifre in sistemul nostru preferat cu baza zece, atunci numarul urmator (suma seriei din partea stanga) exista si este notat ca pe partea dreapta:

Daca omul vrea sa bage o droaie de zecimale egale cu noua, nu ma supara.
Lucrul acesta are acelasi sens ca si cand as baga o droaie de 1-uri.

Inainte sa vorbim de faptul ca un astfel de numar este rational, este bine sa-l definim (prin convergenta unei serii - acesta ar fi cadrul natural). Apoi se poate vedea in ce conditii un astfel de numar este rational.

Putem daca vrem sa fim chiar puristi pentru clasa a V-a si sa acceptam doar numerele rationale, pentru care definim o reprezentare in fractie zecimala "abstracta", fara legatura cu o serie ce converge in IR-ul de mai tarziu, prin luare de resturi succesive de forma...

1/7 ... nu-mi place,
10/7 este 1 + 3/7 ... nu-mi place
100/7 este 10+30/7 = 10 + 4 + 2/7 = 14 + 2/7 ... nu-mi place
.....
1000000/7 = 142857 + 1/7 ... inca nu-mi place dar procedura se repeta...

"Abstract" am putea nota in sensul de mai sus 1/7 = 0,(142857).

Dar cu aceasta reprezentare abstracta nu este direct clar ca avem ceva de forma
0,(571428) + 0,(571428) = 1,(285714) .

Va multumesc din suflet...