Fie ABC un triunghi dreptunghic cu masurile unghiurilor:
A de 20 de grade,
B de 90 de grade,
C de 70 de grade.

Fie D mijlocul ipotenuzei AC.
Fie E pe dreapta AC astfel incat AB = DE si incat C este in interiorul segmentului DE.

Care sunt unghiurile triunghiului BCE ?

[Citat] Fie ABC un triunghi dreptunghic cu masurile unghiurilor: A de 20 de grade, B de 90 de grade, C de 70 de grade. Fie D mijlocul ipotenuzei AC. Fie E pe dreapta AC astfel incat AB = DE si incat C este in interiorul segmentului DE. Care sunt unghiurile triunghiului BCE ?

Daca am avea <A=30 si <C=60 atunci <EB'C=<B'EC=30 si <B'CE=120,dar cum <A=20 si <C=70 rezulta ca <EBC=50 si <BEC=20 si evident <BCE=110.Gresesc cumva?

[Citat]

Da, si eu am gasit cu calculatorul la inceput aceasta "solutie".
Daca notam de exemplu cu x masura unghiului BED (sau BEA),
atunci aplicand teorema sinusului in triunghiurile ABE si DBE (sau alternativ in ABD si BDE) dam de o ecuatie in x,

Pentru a obtine "solutia" de mai sus, am tiparit in gp/pari:

? gsin(x) = sin( x/180*Pi )
? solve( x=0,90, gsin(x) / gsin(140-x) - gsin(20) / gsin(40) )
%1 = 30.00000000000000000000000000

Mai sus cer x din intervalul [0,90] unde se anuleaza expresia
gsin(x) / gsin(140-x) - gsin(20) / gsin(40) ...

Se poate trece de la "solutie" la o solutie?
Din partea mea folosind proprietatile functiilor trigonometrice
si/sau
facand constructii din geometria sintetica...

Astfel de probleme sunt foarte importante din punct de vedere didactic,
ele arata cum se poate "sparge" o figura folosind proprietati (dogmatice sau nu) ale functiilor trigonometrice,
deci cum spargem partea sintetica cu forta,
si cum idea poate fi eventual folosita pentru a da de o solutie geometrica (implementand "transcendenta" functiilor sin, cos, tg, .. pe valorile speciale necesare si folosind algebricitatea acestor valori speciale de exemplu).

Solutii?


N.B.
Eu am tiparit mai intai cele de mai sus in computer (pari/gp) pentru a avea certitudinea ca am un unghi "normal",

apoi am dat o solutie trigonometrica la problema inversa,
presupunand ca x=30 de grade (normand f.a.r.g. pe AB la lungimea de 2 unitati) si aratand ca DE este atunci egal cu AB
si aratand ca asa ceva ajunge,

apoi am dat solutia trigonometrica operand ecuatia de mai sus in toate modurile,

si apoi am cautat si gasit una sintetica -constructie simetrizabila-, fratele meu "alta" si nepotul afirma ca cea netrigonometrica care i s-a transmis este de alta natura...

Pentru cei ce insista pe directia didactica, o astfel de problema este foarte utila in formarea ochiului elevilor, deoarece este enuntul este simplu si fiecare solutie poate fi usor urmarita si fiecare idee se poate usor descrie in cuvinte... E un exercitiu bun de incercat "constructii" sintetice si de exersat formule trigonometrice... Elevii sunt rugati sa incerce pe propriile coate sa ajunga foarte departe in solutie. Daca curiozitatea (sau lenea) invinge, din pacate nu sunt multe probleme cu acelasi potential de formare a rutinei sau a creativitatii...

In mod sigur eu am gresit caci am considerat gresit ca <B'AB=<B'EB=10.Cert este ca <DB'E=90 daca <B'AE=30 si in consecinta ar rezulta ca ,<BEC este mai mic de 30 daca <BAE=20.Oare gresesc afirmand ca <BEC este mai mic de 30?
Completare 10.10.2010:Da am gresit caci ar rezulta AB=AC adica triunghiul ABC nu ar mai fi dreptunghic.Mii de scuze!Intr-adevar unghiurile sunt 110,30 si 40 cum ati calculat Dvs..

[Citat] Fie ABC un triunghi dreptunghic cu masurile unghiurilor: A de 20 de grade, B de 90 de grade, C de 70 de grade. Fie D mijlocul ipotenuzei AC. Fie E pe dreapta AC astfel incat AB = DE si incat C este in interiorul segmentului DE. Care sunt unghiurile triunghiului BCE ?

Incerc sa dau o solutie sintetica: Mai procuram o copie a triunghiului dat si o plasam cu cateta AB sa se suprapuna cu DE:

Atunci literele
A,B,C,D
se corespund prin plagiere cu literele
D,E,F,G .
(G este mijlocul ipotenuzei DF.)

Din cele date rezulta DA = DB = DC = GD = GE = GF si unghiurile BDC si EDF au cate 40 respecti 20 de grade.

Triunghiul BDG este deci isoscel cu unghiul din D de 60 de grade, deci echilateral.

Rezulta GD = GB = GE = GF, deci patrulaterul DBEF este inscriptibil, iar in cercul circumscris (in particular lui DEF) latura DF este desigur diametru.

rezulta usor ca unghiul BED are 30 de grade, deoarece de exemplu in acest cerc circumscris subintinde arcul BD, care corespunde unghiului la centru BGD de 60 de grade. Alternativ, vedem ca diametrul DF sta si-n triunghiul dreptunghic DFB, iar unghiului DFB (egal din inscriptibilitate...) ii revin 30 de grade stiind ca unghiul BDF are 60 de grade...