Sa se arate ca :

este irational
Exercitiu primit de la un elev de clasa a 9-a...

Desigur ca incercam sa scapam de radicali -anume doar in parte- cat se poate mai repede... Vom lupta pana la unu! (...spuse Steven the Great! It is half past two spuse Ghita...)

Un truc (bazat pe teorie Galois, pentru cei ce au trecut deja de facultate) este cel de a considera "conjugate" (Galois) si de a le tot inmulti. De exemplu, daca calculam:

vom scapa de unul din radicali. Progresul este vizibil pentru cei de a V-a chiar. Mai departe la fel.

Mai direct:
Pentru a ramane doar cu ceva in radical din doi, luam "norma" fata de extinderea algebrica

care se scrie

(Morfismele Galois ale extinderii sunt generate de cele ce schimba cate un radical cu popusul lui, lasandu-le pe celelalte in liniste. Este "clar" ca scapam de radicali...)

Spor la lucru (sau mai bine la generalizare...)

"Solutia" de mai sus nu este din pacate una de clasa a IX-a.
Ea presupune de exemplu ca stim ca un element din corpul

se scrie UNIC ca o combinatie liniara cu coeficienti in QQ in elementele

Nu este un lucru tocmai de a IX-a.

Probabil ca singura "solutie" "rapida" este cea in care:

presupunem ca numarul dat este numar rational r,

este clar ca acest numar este radacina a polinomului de grad 16

care este un polinom MONIC.

I se calculeaza doar termenul liber, (norma elementului dat intr-o anumita extindere algebrica,) care este:

Deci numarul dat r se poate scrie ca o fractie ireductibila in care numitorul divide coeficientul principal UNU iar numaratorul divide termenul liber. Deci r este intreg.

Deoarece cam stim ce intreg poate fi numarul dat, ajunge sa-l calculam cu aproximatie de 0,01 de exemplu cu calculatorul de buzunar, si sa excludem cazul ca poate fi intreg...

Tema de casa:
Care este valoarea lui N ?

[Citat] Tema de casa: Care este valoarea lui N ?

Sa intru si eu in vorba;am avut aseara o incercare de a-l calcula pe acest N;bineinteles ca am esuat in al doilea rand,cand a trebuit sa inmultesc pe 21 cu 35.

Obs.Mult mai rezonabila cred ca ar fi fost problema daca ,de exemplu lipsea

.

Eu tot incerc sa aduc lumea pe drumul cel "bun".
In moment, un bun program LIBER de algebra (si analiza) pe computer (incluzand toti algoritmii pe care ii invatam la scoala) este sage.
(sagemath.org)

Cod sage ce ilustreaza cateva posibilitati in cazul de fata...
Imi definesc cel mai mic corp de numere ce contine termenii numarului dat, A sa zicem. Termenii ii notez cu s,t,u,v. (Desi calculatorul nu stie daca s este plus sau minus radical din 2... Calculatorul lucreaza simbolic cu acest s.)

Cod direct interpretat si probabil usor de digerat si uman, deoarece e scris de oameni pentru oameni...

sage: K.<s,t,u,v> = NumberField( [ x^2-2 , x^2-3 , x^2-5 , x^2-7 ] ); K
Number Field in s with defining polynomial x^2 - 2 over its base field

sage: s^2
2
sage: t^2
3
sage: u^2
5
sage: v^2
7
sage: A = s+t+u+v

sage: A.norm(QQ)
46225
sage: A.norm(QQ).factor()
5^2 * 43^2

sage: for conjugatulMeu in A.galois_conjugates(K):
....: print conjugatulMeu
....:
s - t + u - v
-s + t - u + v
-s - t + u + v
s - t + u + v
-s - t - u + v
-s + t + u + v
-s - t + u - v
s - t - u + v
s + t + u + v
-s - t - u - v
-s + t + u - v
s + t - u + v
s - t - u - v
s + t + u - v
-s + t - u - v
s + t - u - v

sage: N = prod( [ conjugatulMeu for conjugatulMeu in A.galois_conjugates(K) ] )
sage: N
46225

sage: A.absolute_minpoly()
x^16 - 136*x^14 + 6476*x^12 - 141912*x^10 + 1513334*x^8 - 7453176*x^6 + 13950764*x^4 - 5596840*x^2 + 46225

sage: L.<X> = PolynomialRing(K)
sage: PolinomMinimal = prod( [ X-conjugatulMeu for conjugatulMeu in A.galois_conjugates(K) ] )
sage: PolinomMinimal
X^16 - 136*X^14 + 6476*X^12 - 141912*X^10 + 1513334*X^8 - 7453176*X^6 + 13950764*X^4 - 5596840*X^2 + 46225

sage: sum( [ sqrt(k) for k in [2,3,5,7] ] ).n(digits = 30)
8.02808365850635262923992448809

In mod definitiv aproximarea reala a numarului dat cu 30 de zecimale *exacte* ne arata ca intregul nostru algebric (ceva din

pentru cei ce au vazut asa ceva) nu este intreg (deci ceva din ZZ), deci nici numar rational.


Sper ca prin cele de mai sus am mai taiat din repugna matematicianului normal despre ceea ce se numeste informatica la liceu si a informaticianului normal despre ceea ce se numeste matematica la liceu. In ambele cazuri, liceul face abuz de terminologie, tarand matematica si informatica prin noroi gros.

Matematica nu este o insiruire de calcule stupide fara scop.
Informatica nu este o insiruire de programari stupide fara scop.

Dar exista probleme stupide...

O sa mai incerc sa dau o solutie de a IX-a pe langa cea ce se scrie scurt:

Numarul dat este radacina unui polinom de grad 16 MONIC, cu coeficient liber INTREG, indiferent care o fi el, deci este numar intreg, contradictie cu aproximarea lui, anume 8,02... - calculata cu matematica lui Newton de un calculator de buzunar din secolul nostru. Gata.

Aceasta solutie poate fi inteleasa de un elev de clasa a IX-a, dar cadrul natural al solutiei este teoria Galois...

Pentru cel ce a propus
--- in mod stupid pentru clasa a IX-a ---
problema de mai sus (nu pentru elevul de clasa a IX-a, in nici un caz pentru el) si de asemenea pentru cel ce a dat-o la un elev de clasa a IX-a spre raspandire, dedic problema urmatoare:

Tema stupida pentru oameni stupizi ca sa-si inteleaga stupizenia:
Sa se arate ca numarul urmator nu este rational:

Solutia este desigur aceeasi cu cea in verde de mai sus.

Subscriu intru totul punctului de vedere al lui Gauss ca aceasta problema este nepotrivita pentru elevii de clasa a IX. As fi curios insa sa vad si alte pareri ale unor profesori, poate cineva stie un motiv pentru a propune elevilor asemenea probleme.

Oamnenii stupizi d-aia sunt stupizi,pentru ca nu-si inteleg stupizenia (e ca si in cazul betivilor ,de exemplu),iar astfel de probleme se dau elevilor de clasa a 9-a ca sa-si arate unul si altul "muschii";e foarte simplu

In fine, la nivel de a IX-a se poate da si urmatoarea solutie care ascunde de fapt adevarul. Faptul ca "iese" si asa este datorat doar abilitatilor de separare a complexitatii...

Presupunem (prin absurd) ca numarul dat este un numar RATIONAL A>0.
Impartim problemele pe cele doua parti ale balantei si tot ridicam la patrat si reimpartim problemele...
Avem succesiv IMPLICATII intr-O directie:

Dupa ce despachetam dam de o relatie de forma

in care nu toate patru numerele rationale s,t,u,v se anuleaza.
Las ca tema (mult mai usoara) demonstratia faptului ca asa ceva este imposibil, de exemplu prin calcularea expresiilor

adica prin separarea corespunzatoare a sumanzilor si ridicare la patrat.
(Nu m-am putut abtine sa nu dau forma din teoria Galois pentru aceasta separare+ ridicare la patrat...)