[Citat]
(quote usor editat... sper ca am inteles bine)
Sa se determine valoarea parametrilor reali a si b,
astfel incat imaginea functiei
sa fie continuta (inclusa) in intervalul [-1,1].
|
(N.B. Imaginea lui f este o multime, mai exact o submultime a lui IR. Incluziunea - nu apartenenta - este singura comparatie cu sens...)
Din pacate eu nu stiu ce se face in momentul de fata pe clasa a X-a (la inceputul ei?!) si cu atat mai putin nu stiu la ce tema este propusa problema de mai sus, dar solutia nu intra "canonic" (normal, in cadrul natural al lucrurilor) in nivelul clasei a IX-a. (Parere subiectiva...)
Solutia se da de obicei intelegand cum arata graficul unei astfel de functii. Asa ca recomand calduros studiul unor functii particulare si facerea unei liste de proprietati comune. Orice pas in a mai restrange din valorile lui a,b este bun.
Observatii:
- (clasa a XI-a) functia data tinde la <a> pentru x care tinde la plus respectiv la minus infinit. Rezulta imediat ca a se afla in intervalul [-1,1]. Pentru aceasta am nevoie in mod canonic de notiunea de limita. Desigur, se poate "munci" si altfel, dar atunci parasim cadrul natural.
- Deoarece f(0) = b rezulta trivial ca si b se afla in intervalul [-1,1]
- Consideram deci doar cazul cu a,b in [-1,1]
- O semiobservatie (in)utila este ca daca ne uitam la f(1/x) pentru x diferit de zero, atunci dam de "aceeasi problema" cu a,b schimbate intre ele. Asa putem intelege de ce solutia trebuie sa prezinte o oarecare simetrie in a,b. Asa putem sa ne scapam de limita ce restrange libertatea de miscare a lui <a>, dar nu in cadrul natural. (Dar putem bate cuie si cu patentul.)
(Ceva atentie trebuie eventual acordata demonstrarii simetriei, deoarece "punctul de la infinit" nu este in domeniul lui f, pe cand 0 este, dar ne uitam in detaliu...)
- Din motive de continuitate, lucru de care auzim pe clasa a XI-a, graficul functiei date "iese din banda dintre ordonatele -1 si 1", deci are imagine cu puncte in afara intervalului [-1,1], daca si numai daca (cel putin) una din ecuatiile algebrice
are (cel putin) doua solutii reale distincte pentru a in intervalul (-1,1) si ceva lasat ca tema pentru cazurile a=1 respectiv a=-1.
- Rescriem echivalent ecuatiile:
- Daca termenul de grad II nu se anuleaza, discriminantii "pe jumatate" (pe sfert pentru unii) sunt
1 - (a+1)(b+1) respectiv
1 - (a-1)(b-1) .
Vom exclude perechea (a,b) daca dam de grad II si discriminantul corespunzator este strict mai mare ca zero. (Am incercat asiduu sa folosesc si ceva de a IX-a.)
- Separam pe cazuri, dupa cum avem ecuatii doar de grad II sau o eventuala degenerare in grad I.
- Daca a=-1, prima ecuatie are cel mult o solutie. Sansele de eliminare vin doar din a doua. Tema de casa: Sa se scrie /studieze mai indeaproape.
- Daca a=+1, a doua ecuatie are cel mult o solutie. Sansele de eliminare vin doar din prima. Tema de casa: Sa se scrie /studieze mai indeaproape.
Altfel, daca a este in (-1,1), cerem
- Dupa parerea mea se poate lasa si asa conditia, dar ea se poate rescrie si sub forma
daca mai sunt inca treaz. (La un prim pas avem -ab mai mic sau egal cu (a+b) si cu -(a+b), deci echivalent cu cel mai mic dintre ele care este -|a+b|.)
In particular rezulta de aici ca cerem ca ab sa fie mai mare sau egal cu zero.
Deci a si b au acelasi semn. Deci |a+b| = |a|+|b|.
Rezulta:
Daca ne uitam sa avem egalitate peste tot, rezulta repede ca fie a, fie b se anuleaza, deci ab=0, deci a=b=0.
- In zilele aceste grele din punctul de vedere al economiei, trebuie sa fim multumiti si cu o solutie, chiar daca aceasta este cea care este... Problema este o subtila trimitere la greve deja planificate.
- Desigur ca am incercat cu computerul sa dau cateva ploturi, din pacate nu pot sa le introduc repede aici, dar o versiune ascii are intotdeauna loc.
N.B. Este acel 0.9944751 OK? (Mai sunt si lipsuri - la calculator, desigur. Versiunea gramaticala comuna este 'mai e si lipsuri' (sic!) ca e mai multe.)
TEMA DE CASA: Sa se analizeze clar cazurile cu |a|=1.
P.S. Daca sunt intrebari, rog, cu toata increderea!
Access general
Conţine mesaje necitite
