[Citat] 1.Gasiti prima zecimala a numarului a indice n= radical(n+n*n)
2. Daca m/n(m,n sunt nr.naturale) este o valoare aproximativa radical din 3, aratati ca( m+3n)/ m+n este o aproximatie "mai buna" a lui radical din 3.
3. Aratati ca in scrierea zecimala a oricarui numar irational exista cel putin o cifra care se repeta de o infinitate de ori.
4. Aratati ca daca 1<=a<=9 ( a natural), atunci fractia 0,a0a00a000a0000a.... reprezinta un numar irational. |
Mie imi place foarte mult tema asta de casa, asa ca sa o rezolvam *impreuna*.
Dar inainte de toate, cum se cuvine unui popor cinstit, care da cartile pe fata (dupa ce a dat in stanga si dreapta), de unde provin problemele? Care este autorul, la ce nivel sunt puse problemele si care este "miza" (predare+uitare sau 40 de lei sau incercarea asidua de a intelege sau incercarea de scapat de sub oprimarea sistemului didactic de neexplicare prin cerere continua) ?
(1)
Pentru primele cateva numere naturale computerul ne spune:
sage: for n in range( 0,10 ): print n, RR( sqrt(n^2+n) )
....:
0 0.000000000000000
1 1.41421356237310
2 2.44948974278318
3 3.46410161513775
4 4.47213595499958
5 5.47722557505166
6 6.48074069840786
7 7.48331477354788
8 8.48528137423857
9 9.48683298050514
Care este deci prima zecimala? (Si care este partea intreaga?)
Ce inegalitate dorim sa demonstram pentru un n general?
Cum o demonstram?
(2) Problema nu imi spune ce inseamna o aproximare "buna". Dar poate scapam de acest calvar prin ignorare. Mai cerem n>0 ca sa avem numitori pentru care nu suntem dati afara de la ore.
Avem de comparat (probabil) si stabilit:
(Sper ca am deslusit bine numitorul (m+n)...) Deoarece numerele rationale sunt dense in numerele reale, notam cu x pe m/n si demonstram mai bine inegalitatea
Cautam sa vedem in ce cazuri avem egalitatea. (Ce avem de exemplu pentru x egal cu radical din trei?)
Daca in membrul drept aducem (sub modul) la acelasi numitor, de ce dam?
(3) Nu stiu de ce trebuie sa avem un numar irational, dar sa clarificam cateva lucruri:
Avem scrise una dupa alta cifre (intre 0 si 9).
Daca scriem 1x9+1 = 10 cifre, cel putin o cifra se repeta de (1+1) ori.
Daca scriem 2x9+1 = 19 cifre, cel putin o cifra se repeta de (2+1) ori.
Daca scriem 3x9+1 = 28 cifre, cel putin o cifra se repeta de (3+1) ori.
Ce vrea problema de la noi de fapt?
(4) Scrierea data nu este periodica (mixta). (Daca ar fi periodica de perioada de lungime N, care s-a fixat deja pe pozitia K, atunci ne uitam departe destul dupa K pana ce dam de o bucata compacta de a-uri de lungime 100N. Aceasta ar contine o perioada. Deci perioada ar fi aa...aa scrisa de lungime N. Contradictie cu ocurenta urmatoare a unui 0 diferit de a.)
Deci ea nu reprezinta (conform unei dogme de clasa a V-a) un numar rational.