Fie f: R -> R o functie. Sa se arate ca exista x,y din R cu x diferit de y astfel incat |f(x)-f(y)| diferit de 1.

Problema este ca pot alege orice functie de exemplu f(x)=x^2,x=3,y=4 ?i gata:exista x si y. Pare prea simplu ca sa fie adevarat.Omit eu ceva sau este problema incompleta?

[Citat] Fie f: R -> R o functie. Sa se arate ca exista x,y din R cu x diferit de y astfel incat |f(x)-f(y)| diferit de 1. Problema este ca pot alege orice functie de exemplu f(x)=x^2,x=3,y=4 ?i gata:exista x si y. Pare prea simplu ca sa fie adevarat.Omit eu ceva sau este problema incompleta?

Enuntul cere sa se arate acea proprietate pentru orice functie f: R -> R si nu doar pentru una particulara.

Ar merge o demonstratie prin reducere la absurd:

Presupunem ca exista o functie f: R -> R, astfel ca f(x)-f(y)=1 sau
f(x)-f(y)=-1, pentru orice numere reale si diferite, x si y.

Consideram cazul f(x)-f(y)=1, celalalt tratandu-se la fel.
Intr-un punct

si un y arbitrar si diferit de

functia ia valoarea

, dar pentru ca f este functie deducem ca

.
Dar pentru doua numere reale

avem conform observatiei precedente

, ceea ce contrazice presupunerea facuta.

[Citat] Consideram cazul f(x)-f(y)=1, celalalt tratandu-se la fel.

Nu e chiar asa. Daca

pentru orice

nu inseamna ca

pentru orice

sau

pentru orice

Sa consideram trei valori ale functiei, sa spunem

cu

distincte.
Avem

si

Adunand, obtinem

deci

contradictie.

[Citat] [Citat] Consideram cazul f(x)-f(y)=1, celalalt tratandu-se la fel. Nu e chiar asa. Daca pentru orice nu inseamna ca pentru orice sau pentru orice Sa consideram trei valori ale functiei, sa spunem cu distincte. Avem si Adunand, obtinem deci contradictie.

Sa inteleg ca dv. nu sunteti de acord ca

[Citat] Sa inteleg ca dv. nu sunteti de acord ca

Ba da, cu asta sunt de acord. Observatia este ca nu putem presupune ca

pentru orice

, sau ca

pentru orice

, de unde ar rezulta ca functia e constanta.

Poate pentru unele perechi

aceasta diferenta este 1 iar pentru altele, -1.

Exemplul clasic: sa se determine functiile

cu proprietatea

, pentru orice

real. Raspuns (gresit): sunt doua functii:

si

Nu, sunt mai multe.

Sau, mai clar, daca

sunt predicate (pentru simplificare, unare), propozitia

nu este echivalenta cu propozitia

.

Sau, pentru cititorii mai putin familiarizati cu logica predicatelor:

este adevarat ca orice numar real nenul este pozitiv sau negativ;

nu este adevarat ca orice numar real nenul este pozitiv sau orice numar real nenul este negativ.

[Citat] Observatia este ca nu putem presupune ca pentru orice , sau ca pentru orice , de unde ar rezulta ca functia e constanta.

Este clar de aici, dar nu am raspuns din cauza lui ...Mos Ene.

Multumesc pentru raspunsuri. Nu pricepusem bine cerinta.