Ce inseamna functie "bicontinua"?

O func?ie continu?, inversabil?, cu inversa continu?.

Ce inseamna "domeniu stelat in raport cu originea"?

O mul?ime de puncte cu proprietatea c? dac? un punct îi apar?ine, atunci întreg segmentul care une?te acel punct cu originea este inclus în mul?ime.

[Citat] O mul?ime de puncte cu proprietatea c? dac? un punct îi apar?ine, atunci întreg segmentul care une?te acel punct cu originea este inclus în mul?ime.

Spunem ca multimea este stelata daca exista un punct al multimii cu propietatea de mai sus,sau daca orice punct din multime are propietatea....?
Cred ca a doua varianta...

Si daca e stelata in raport cu orice punct,atunci e convexa?(scuze daca e prostie)

[Citat] Cred ca a doua varianta...

Evident. Daca spun "un punct" se intelege ca e arbitrar.

[Citat] Si daca e stelata in raport cu orice punct,atunci e convexa?(scuze daca e prostie)

Nu e prostie, e corect. Dar in practica se folosesc doar multimi stelate in raport cu originea.

Ce inseamna "subspatiu dens" (al unui spatiu Lebesgue,prehilbertian sau de care o fi...)?

[Citat] Ce inseamna "subspatiu dens" (al unui spatiu Lebesgue,prehilbertian sau de care o fi...)?

Din ce-mi aduc aminte:
Multimea A este densa in B daca:
-inchiderea lui A este chiar B (A barat=B) sau
-orice vecinatate a unui punct oarecare x din B contine cel putin un element din A

Defapt,ma interesa ce inseamna subspatiu dens,pentru ca m-am pierdut pe drum in a demonstra ca

;intre timp m-am lamurit cu definitia;cat priveste demonstratia tot ratacita sunt...

[Citat] Defapt,ma interesa ce inseamna subspatiu dens,pentru ca m-am pierdut pe drum in a demonstra ca ;intre timp m-am lamurit cu definitia;cat priveste demonstratia tot ratacita sunt...

Fie mu o masura pe spatiul de masura X fata de o sigma-Algebra F (scris caligrafic). Fie p, q mai mari sau egale cu 1 si mai mici sau egale cu infinit cu 1/p+1/q = 1. (Nu notez q=p'...)
Inegalitatea lui Hölder

arata ca este bine definita o aplicatie din L^q in spatiu de functionale pe L^p, data 'formal' pentru un g din L^q fixat de

Astfel am terminat o directie.
Reciproc, daca dam o functionala slab continua phi pe L^p, am vrea sa o scriem sub forma asta. Din Radon-Nikodym (si faptul ca nu distingem in L^p(X) intre functii definite pe X ce difera pe o multime de mu-masura nula - de aici o absolut continuitate pentru a putea pleca) dam de o masura n(i)u ce reprezinta phi. (Teoria integralei Daniels... daca nu vrem Radon-Nikodym...) Absolut continuitatea ne da un g cu

Ramane sa aratam ca acest g este in L^q.
Pe scurt: Acel phi(.) = [ f -> phi(f) ] (slab continuu) ia un maxim undeva pe bila unitate (slab compacta) din L^p, sa il notam cu F. (Motivatie: A posteriori vom avea azi un g. Ne uitam la Hölder pentru F si g, vedem ca avem inegalitatea devenita egalitate / maximum, deci ne asteptam sa stim cine este g pentru ca stim cand avem egalitatea in Hölder. Deja putem sa negandim ca |g| este |F|^(p/q). De aceea...)

Luam G de asa natura incat |G|=|F|^(p/q), o functie din L^q, si astfel incat FG sa fie o functie reala (trebuie doar sa avem grija de semn). Lui G ii corespunde atunci o functionala phi_G care ia maximul in acelasi F ca si phi...

Aceasta coincidenta poate fi folosita pentru a arata ca phi_G si phi coincid pana la un scalar multiplicativ. (Intuitia de pe spatiul Hilbert 3-dimensional ne spune cam cum e argumentul - gandind o functionala liniara ca proiectia pe o dreapta orientata...) Daca nu construim un "F mai bun"... In analiza functionala intuitia de pe spatiile reale finit dimensionale este inlocuita tehnic de Hahn-Banach...

Cele de mai sus NU sunt o demonstratie (completa), dar ajuta la a ordona gandurile unei demonstratii dintr-o carte de exemplu...
Demonstratia poate fi poate data si pedestrian, daca ne legam de spatiul dens al functiilor in treapta (cu trepte masurabile de masura finita), dar asta inseamna ca nu stim chiar nimic din analiza functionala ca sa demonstram un rezultat tipic din analiza functionala.

Aduc doar o mica completare: dualitatea de mai sus are loc doar pentru

.