Un dreptunghi este parti?ionat în mai multe dreptunghiuri (cu interioarele disjuncte), fiecare dintre acestea având cel pu?in o latur? de lungime num?r întreg. S? se arate c? dreptunghiul ini?ial are, de asemenea, cel pu?in o latur? de lungime num?r întreg.

Habar n-am (deocamdata) daca are legatura cu solutia problemei,dar putem presupune ca laturile dreptunghiului mare sunt paralele cu laturile dreptunghiurilor mici?

[Citat] Habar n-am (deocamdata) daca are legatura cu solutia problemei,dar putem presupune ca laturile dreptunghiului mare sunt paralele cu laturile dreptunghiurilor mici?

Desigur. Ar fi trebuit s? men?ionez asta, ca ?i faptul c? num?rul dreptunghiurilor este finit.

Din start, vom considera dreptunghiul dat cu laturile paralele cu axele ?i un vârf în origine.

Prima solu?ie împ?r?im planul în p?tr??ele de latura 1/2, colorate ca pe tabla de ?ah. Nu e greu de v?zut c? un dreptunghi cu o latur? num?r întreg acoper? suprafe?e de culori diferite având arii egale....




Uploaded with ImageShack.us

Alte solu?ii în zilele urm?toare

Solu?ia a doua:

Fie V mul?imea vârfurilor dreptunghiurilor din parti?ie. Pentru fiecare dintre dreptunghiuri, vom pune câte o stelu?? în vârfurile care au coordonate întregi.
Pentru c? fiecare dreptunghi are cel pu?in o latur? având lungimea num?r întreg, rezult? c? în fiecare dreptunghi avem 0,2 sau 4 stelu?e. De aici deducem c? num?rul total de stelu?e este par.





Pe de alt? parte, în jurul fiec?rui vârf din V, cu excep?ia vârfurilor A,B,C,D, ale dreptunghiului ini?ial, avem 0,2 sau 4 stelu?e.






Uploaded with ImageShack.us

Rezult? c? num?rul de stelu?e din vârfurile A,B,C,D, este, de asemenea, par. Dar în A(0,0) avem o stelu??, deci....

S?ptamâna viitoare, o alt? solu?ie care folose?te o idee cu totul nea?teptat?: dac?

sunt dimensiunile dreptunghiului ini?ial, atunci, pentru orice num?r prim

, avem

sau

, de unde, desigur, rezult? c? unul dintre numerele

este întreg.

[Citat] S?ptamâna viitoare, o alt? solu?ie ...

M? scuza?i,dar, ar cam fi "s?pt?mâna viitoare"

Solu?ia a treia: consider?m un num?r prim

?i aplic?m dreptunghiului nostru o omotetie de raport

, cu centrul în origine (care este unul din col?urile dreptunghiului ini?ial). Apoi,înlocuim fiecare punct X din V cu punctul ale c?rui coordonate sunt p?r?ile întregi ale coordonatelor lui X. Astfel, dac? dreptunghiul ini?ial are dimensiunile

, imaginea acestuia este acum un dreptunghi cu dimensiunile

E clar c? fiecare dreptunghi din parti?ie are dimensiuni întregi, dintre care m?car una multiplu de

,(deoarece dreptunghiurile initiale au cel putin o latura intreaga), deci are aria multiplu de

. Rezult? c? imaginea dreptunghiului ini?ial are, de asemenea, aria multiplu de

, deci cel pu?in o latura multiplu de

.
A?adar, unul dintre numerele

difer? de un multiplu de

cu mai pu?in de o unitate, deci unul dintre numerele

difera de un numar intreg cu mai pu?in de

Desigur, de aici rezult? c? unul dintre numerele

este întreg.

Dac?

este un dreptunghi oarecare atunci

Prin urmare dreptunghiul are cel pu?in o dimensiune întreag? dac? ?i numai

. Concluzia rezult? direct din aditivitatea integralei...

P.S. Ideea poate fi transcris? folosind dou? integrale simple.
P.P.S. Nu ?tim cine este autorul acestei solu?ii.

[Citat] Nu ?tim cine este autorul acestei solu?ii.

Se pare c? de Bruijn.
(A se vedea ?i http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/Wagon601-617.pdf )