Fie M un punct in interiorul unui triunghi ABC.Sa se arate ca:
MA+MB+MC

,unde

sunt lungimile medianelor din A,B respectiv C

Sa vedem cam ce inseamna cele date pentru triunghiul echilateral ABC cu M=A.
Lungimea medianei o notez cu m. (m este jumate din radical din trei.)

Am avea de obtinut in cazul acesta foarte particular:

Deci doi mai mic sau egal cu radical din trei?

De unde provine problema?

Avand in vedere ca este nevoie de un anumit grad de digerare pentru probleme date cu formule ca cea de mai sus, faptul ca ajungem la asa contradictii este fie o chestiune de umor, fie una de exersat imprecatii retorice...

Nota:
Daca consideram M(x,y) ca punct in reperul cartezian de coordonate pe care se afla si punctele A(a,a'), B(b,b'), C(c,c'), atunci problema se leaga de functia definita pe (o bucata de) plan cu valori reale data de formula:

Aceasta functie se studiaza in mod cat de cat propriu cu analiza de facultate, derivata ei secunda fiind (la facultate) o matrice 2x2

- o suma de trei matrici semipozitiv definite care nu au vector propriu comun, daca nu avem triunghi degenerat -
deci avem de-a face cu o functie convexa.
(Graficul 2-dimensional de sub orice triunghi ce uneste trei puncte de pe grafic este "sub" triunghiul determinat de ele in spatiu.)

Explicit:
In suma de mai sus apar trei matrici de forma

si testul de semidefinire din definitie este imediat:

Ei bine, este atunci clar, din motive de convexitate, ca maximul expresiei se obtine in unul din varfuri.

Nota: Este un lucru straniu sa cautam maximul unei functii convexe, de obicei se cauta minimul...