Iar nu stiu "sa scriu".(Cred ca sunt pline variantele de bac de astfel de probleme,dar nu reusesc sa dau de niciuna)

inca ceva:

Desigur nu trebuie sa "inventez eu roata",astea sunt rezultate cunoscute,doar ca in toate cursurile,auxiliarele,manualele pe care le am sunt date ca simple observatii,fara demonstratie (probabil de evidente ce sunt).Asa ca mi-ar fi de folos si un link.

[Citat] Fie Care sunt polinoamele de grad cel mult 3 din $Z_{3}[X] $ care definesc aceeasi functie polinomiala ca si f?

Desigur ca ajunge sa ne ocupam de cazul "homogen", de aceea intrebarea pe care ne-o punem de fapt este:

Versiunea (1): Care functii polinomiale de grad cel mult trei de pe corpul de trei elemente cu valori in el insusi se anuleaza identic?

Versiunea (2): Fie k corpul cu 3 elemente. Elementele lui k sunt desigur 0,1,2=-1, ca sa nu mai innebunim cu caciuli pe timp de vara notatia si copiii. Ajunge sa le spunem ca in acest corp avem 1+2=0, ei se vor plange, dar repede vor recunoaste avantajul vazand ca tabla inmultirii din primele zile de clasa a I-a le ajunge...
Consideram vectorii
v(1) = (1,1,1)
v(X) = (0,1,2)
v(XX) = (0,1,1)
v(XXX) = (0,1,2)
si intrebarea este ce combinatii liniare nule putem face cu ei...
(Sper ca e clar de unde vin acesti vectori.)
Deoarece matricea formata din primii trei vectori are determinant nenul, vedem repede ca pentru problema noastra nu putem decat sa adunam la 0 (sau la polinomul dat) ceva de forma a(XXX-X) unde a ia cele trei valori 0,1,2.

[Citat] inca ceva:

In primul rand e bine sa ne intrebam ce este prin definitie un element ireductibil intr-un inel comutativ. (Cer scuze de pe acum daca voi scrie irreductibil vreodata fals.) In primul rand se definesc unitatile ~ elementele care au invers fata de multiplicare. Iata cateva exemple de unitati:

- in ZZ exista doar doua unitati, 1 si -1.
- in QQ toate elementele nenule sunt unitati.
- in ZZ[ i ] (inelul lui Gauss) exista patru unitati, 1,-1, i, -i, cum vedem imediat daca ne aducem aminte de faptul ca modulul de aici cu valori in ZZ este o functie multiplicativa.
- in ZZ[ u ] cu u = (radical din doi), unitatile sunt ceva mai complicate, exista o parte "de torsiune" cu -1 si 1 in ea si o parte "libera" generata de (u+1). Deci orice unitate este de forma (plus sau minus) putere (pozitiva sau negativa) a lui u.
- in IR[X] toate polinoamele de grad zero (nenule) sunt unitati.
- in QQ[X] toate polinoamele de grad zero (nenule) sunt unitati.
- Fie acum k corpul cu trei elemente. Atunci unitatile lui k[X] sunt de asemenea doar 1,2=-1.
- in ZZ[X] unitatile sunt doar -1 si 1.
- Fie acum R = ZZ/6 inelul cu sase elemente 0,1,2,3,4,5, construit ca ZZ modulo 6. In R[X] unitatile sunt -1 si 1 deoarece avem morfisme de inele de la R la k=ZZ/2 si respectiv la k'=ZZ/3 ce induc morfisme corespunzatoare la nivel de inele polinomiale. De exemplu 1+2X NU este unitate deoarece se duce tot in 1+2x (cu alt 2) care NU este unitate in k'[X].

Bun.
(Mie mi se pare stupid / nenatural) sa vad ca la facultati *intotdeauna* descompunerea unica in factori primi peste ZZ vine inaintea definirii de unitati intr-un inel...)

Ce este un element ireductibil intr-un inel.
In primul rand, o definitie buna ar trebui sa elimine divizorii lui zero din discutie. Un element x in inelul (comutativ) R se numeste ireductibil, daca dintr-o scriere

x = ab

(cel putin) unul din factorii a, b este o unitate. (Iar celalalt se numeste asociat cu x. (Chiar si in cazul in care x este insusi unitate.))

Acum in exemplele de mai sus, in ZZ[X] atat 2 cat si X sunt elemente ireductibile! Pentru a evita aritmetica complicata in inele de polinoame ce poate apare asa (peste ZZ sau peste inele complicate cu o proprie aritmetica), oamenii studiaza mai intai aritmetica peste K[X], K corp. Macar la inceput.



Acum la problema pusa:
(a) este ceva trivial, deoarece ne uitam la grade, iar ceva de grad zero este unitate.
(b) daca f este reductibil, f = gh cu grad(f) mai mic sau egal cu doi si grad(g), grad(h) mai mari sau egale decat zero (ca sa evitam unitatile), atunci fie g, fie h are grad unu, deci e de forma a(X-x1). Radacina sta in paranteza. Deci f are (cel putin) o radacina in K.

Daca f are o radacina, este (Bezout) reductibil.

(c) Daca k este corpul cu doua elemente, atunci (XXXX + 1) este puterea a patra a lui (X+1). Problema are nevoie de un enunt mai clar. Ceva de forma:
- Sa se gaseasca un corp K, un polinom f in K[X] de grad patru care nu are radacini in K, dar care este reductibil.
sau
- Sa se arate ca pentru orice corp K exista un polinom reductibil de grad patru in K[X] fara radacini in K. Din pacate acest lucru este fals pentru corpuri algebric inchise, cum este de exemplul corpul numerelor complexe. (Orice polinom se sparge complet in factori liniari.)

(Polinomul XXXX+1 este poate un raspuns la problema: Sa se gaseasca un corp K, si in K[X] un polinom ireductibil fara radacini.)