Ecua?ia dat? este forma afin? a ecua?iei "homogene" (sau proiective)
despre care încerc s? scriu câteva lucruri. Este evident c? tripletul
este o solu?ie cu componentele nu toate nule a acestei ecua?ii dac? ?i numai dac? pentru orice scalar
nenul tripletul
este o solu?ie cu componentele nu toate nule a acestei ecua?ii. Acesta este motivul pentru care oamenii pun toate aceste solu?ii ce se ob?in unele din altele într--un sertar, pe care îl noteaz? cu
În cazul nostru vedem ``imediat'' solu?ia $(1,2,1)$ ?i desigur c? atunci ?i $(2,4,2)$ este o solu?ie. Nota?ia este de a?a natur? încât pune toate solu?iile ce difer? prin înmul?irea cu un scalar nenul într--un sertar, iar sertarul are mai multe nume (de reprezentan?i), de exemplu
.
Matematica superioar? (geometria algebric?) define?te pentru ``curbe algebrice'' anumi?i invarian?i. Unul dintre ei este genul. În cazul de fa?a se g?se?te c? genul este unu. Deci curba cu care avem de--a face este -doar o terminoligie- o curb? eliptic?. Teoria curbelor eliptice este foarte bogat? în ``curiozit??i aritmetice'', este un domeniu complex de studiu, iar majoritatea metodelor nu sunt direct accesibile liceului. Demonstra?ia marii (între timp) teoreme a lui Fermat este dat? esen?ial printr--un avatar de curbe eliptice, din care nu lipses formele modulare, L--func?ii, etc. Elevii ce vor s? guste din matematic? este bine s? rezolve câteva teme cu curbe eliptice ?i în parte s? uite de ``curiozit??ile matemetice'' -care în mare parte sunt drumuri înfundate- ce apar la o olimpiad? sau alta. (Dar aceste olimpiade sunt esen?iale în a forma rutina de calcul ?i de orientare! Însa nu sunt drumul lung cel bun.) Voi încerca s? scriu o introducere liber? despre curbe eliptice în limba român?. Posteritatea m? poate judeca pentru nesim?ire. În orice caz se elimin? o dat? pentru totdeauna scuza potrivit c?reia nu exist? manuale în limba român? care dau oric?rui om ?ansa de racordare cu efortul uman de cercetare matematic?. Pe vremea mea acest lucru nu era prezent, nu numai c? lipseau lucr?rile introductive, dar literatura de specialitate era scump? ?i accesibil? doar într-o singur? bibliotec? din ?ar?. Lucrurile s-au mai schimbat...)
Bun. Lunga istorie ?i multele încerc?ri legate de curbe eliptice m? oblig? s? rescriu ecua?ia într-o form? mai cunoscut? pentru computerele, b?ncile de date ?i abordarea uman? de azi. Pentru aceasta fac substitu?ia
?i înlocuind ?i f?când calcule ob?inem o (ecua?ie de) curb? proiectiv? de forma
care este aproape ce vrem noi în forma canonic? Weierstrass a unei curbe eliptice, dac? lu?m drept coordonate afine
, dar avem probleme cu coeficien?ii nou? ?i ?ase care vrem s? fie unu ?i unu. Deoarece puterile sunt a treia ?i a doua întotdeauna ne putem aranja s? sc?p?m de factori primi de la un termen la cel?lalt. În cazul nostru trebuie s? înmul?im ecua?ia cu
?i s? rescriem
pentru a da de ecua?ia unei curbe eliptice echivalente (sau alternativ de studiat) care este:
Punctele ra?ionale de pe aceast? curb? au o structur? canonic? (din geometria algebric? subiacent?) de grup abelian cu elementul neutru punctul (de contact de ordin 3 al tangentei din el la curba)
. Adunarea a dou? puncte de pe curb? se descrie simplu:
- fie
dou? puncte de pe curb?, deci care satisfac ecua?ia de gradul trei de mai sus. Atunci dreapta prin ele mai taie o dat? curba în exact un punct (Bezout), notat
.
- atunci dreapta prin
ele mai taie o dat? curba în exact un punct (Bezout), notat
.
Asta e tot.
Formulele algebrice sunt u?or de scris. Dar nu este la fel de u?or de lucru cu ele. Bun.
Vrem s? ar?t?m deci c? ecua?ia de mai sus afin? are o infinitate de solu?ii în numere ra?ionale. Deoarece nimeni din lume nu tolereaz? acum literele v ?i z pentru o nota?ie unde toat? lumea folose?te y ?i x, cu riscul de a--i induce în eroare pe cei ce nu au citit rândurile de mai sus voi rescrie ecua?ia ca toat? lumea:
?i îi caut solu?iile ra?ionale.
Mai întâi întreb computerul ce ?tie despre ea.
Aceasta este ce tip?rim. Rezultatele sunt urm?toarele (u?or ajutate de mân? ca s? intre pe pagin?):
Întrebarea pe care trebuie s? ne--o punem este urm?toarea:
Dac? repet?m aceast? procedur? de suficient de multe ori d?m de repet?ri? Cu alte cuvinte, este punctul
un punct de torsiune (al grupului abelian al punctelor rationale ale curbei eliptice pe care o studiem)? R?spunsul este negativ, dar pentru a--l argumenta trebuie s? ?tim câteva lucruri ce ?in de teoria curbelor eliptice.
Un prim mod de argumentare este prin folosirea teoremei Lutz--Nagell, care afirm? c? dac? un punct rational de pe curb? este de torsiune (?i dublul lui nu este), atunci acesta are coordonate afine întregi. Deoarece triplul punctului
nu are coordonate afine întregi, nici acest punct nu este de torsiune, deci orice dou? puncte din mul?imea
sunt diferite. A? putea s? for?ez demonstra?ia p--adic? s? mearg? ?i în cadrul nostru, dar nu ar fi cadrul aici. De fapt, majoritatea matematicienilor trebuie de la o vreme s? ``cread?'' c? anumite teoreme sunt verosimile, exceptând cazul în care ele devin teoreme esen?iale în propriul domeniu de cercetare. (Deja sunt prea multe teoreme pentru ca o soart? uman? s? le verifice pe toate...)
De aici pân? la a ar?ta c? dat
num?r natural exist?
astfel încât ecua?ia
are cel pu?in
solu?ii nu mai este mult. Ajunge s? alegem întâmpl?tor
elemente diferite de elementul neutru din mul?imea
de mai sus, s? izol?m cel mai mic multiplu comun al numitorilor ce apar, s? îl ridic?m la puterea a treia, rezultatul s?--l în multim cu nou? (din curba special? pe care am studiat--o), iar acest ultim rezultat este bun pe post de
.
O alt? posibilitate de a argumenta c? punctul
nu este punct de torsiune este de a folosi o teorem? mult mai puternic? a lui Mazur, care afirm? (mai exact) faptul c? ordinul subgrupului de torsiune este cel mult
. La noi, plotând valorile primei coordinate afine, de data aceasta prin aproximare cu un num?r real în scriere zecimal?, avem în continuarea liniilor de sage de mai sus:
Access general
Conţine mesaje necitite
