banuiesc ca ar trebui sa stiu ceva in legatura cu nr de vectori ai unui spatiu vectorial ,pentru ca in alta parte imi cere un exemplu de sp.vectorial cu 4 elemente,si unul cu 6 elemente.

Aceasta este o problema standard de teoria corpurilor, se gaseste in cam toate cartile.
Incerc sa dau o solutie care sa fie usor povestita la nivel de liceu.
Nu o sa reusesc, daca nu presupun ceva acolo cunoscut.
Asa ca presupun ca omul a mai vazut urmatoarele ingrediente:

Corpul cu p elemente (p prim) exista si este chiar realizat ca ZZ modulo p. In algebra notatia internationala pentru acest corp respectiv realizarea se noteaza...

Acel p.ZZ este un asa zis IDEAL al lui ZZ, este o parte subgrup a lui stabila la inmultirea cu elemente arbitrare din tot inelul ZZ.
Elementele din ZZ / p sunt date pe reprezentanti din ZZ.
Doua elemente [m], [n] din
ZZ / p
cu reprezentantii m,n din ZZ
sunt egale (in ZZ / p) daca si numai daca diferenta lui e in ideal.
Aceasta este o constructie generala, psihologic, nu e nevoie de ajuns la facultate pentru a o avea in sange...

In literatura de specialitate, acest corp se numeste General Field with p elements, softurile computerizate scriu GF(p) pentru el. Acest corp cu p elemente este unic pana la un izomorfism unic, (deci daca avem corpurile GF(3) cu elementele 0,1,2 asa cum apar ca reprezentanti in realizarea ca ZZ / 3 ZZ si un altul cu elementele Ciuciu, Bere si Presedinte, atunci avem un unic izomorfism ce duce "zero in zer si unu in unu", deoarece apoi si 2=1+1 se duce...)

Inelul de polinoame peste un inel (ring) R este notat cu R[X], necunoscuta este X.

In inelul de polinoame peste un corp (R sau C sau GF(p)) exist algoritmul de diviziune cu rest.

Lucru relativ netrivial, anume, dat fiind N numar natural >0, atunci in inelul de polinoame

exista un polinom de grad N care este ireductibil.

Ei bine, atunci daca P este un astfel de polinom (de grad N, ireductibil=prim) structura

este un corp cu p la puterea N elemente, corpul de (clase de) resturi modulo (impartirea cu rest la polinomul) P.

Exemplu cu computerul:

sage: K.<a> = GF( 3^4 )
sage: K
Finite Field in a of size 3^4
sage: charpoly( a, 'X' )
X^4 + 2*X^3 + 2

Primul (dpdv lexicografic) astfel de polinom ireductibil se numeste polinom Conway. Avem de exemplu:

sage: conway_polynomial(3,4)
x^4 + 2*x^3 + 2
sage: conway_polynomial(3,24)
x^24 + x^14 + 2*x^11 + 2*x^8 + 2*x^6 + 2*x^4 + 2*x^3 + 2*x + 2

Dupa cum se vede, nu este chiar nevoie de "cunostinte de programare", ci de cunostinte despre "da-mi"...

Desigur ca acest lucru, calculul in corpuri finite, este un lucru important in teoria numerelor, criptografie, ... Pentru a vedea de ce se ocupa oamenii...
http://www.sagemath.org/doc/reference/sage/rings/finite_rings/constructor.html
http://www.jjj.de/mathdata/
http://www.cs.umbc.edu/~lomonaco/f97/442/Peterson_Table.html