Imi spuneti,va rog,de ce pentru o functie definita pe un spatiu vectorial cu valori in acelasi spatiu vectorial,bijectivitatea si injectivitatea sunt echivalente.

Daca spatiul vectorial este finit dimensional, acest lucru este chiar adevarat, deoarece exista o teorema despre dimensiuni de nucleu si de imagine.

(Ideea de demonstratie este ca daca A: V -> Im A C W unde V si W sunt spatii vectoriale, iar acel C este incluziunea, luam nucleul ~ kernel (En) sau Kern (Ger) al lui A, notat V' = Ker A, un subspatiu al lui V, luam o baza a lui, o extindem cu lema lui Steinitz cred la o baza a lui V, vectorii ce vin noi genereaza un spatiu V'' si restrictia lui A ca aplicatie V'' -> Im A este usor de vazut ca e bijectiva. Atunci relatia V = V' (+) V'' ne da...)

dim V = dim Ker A + dim Im A .

Daca acum V=W si in relatia de mai sus nu avem nicaieri infini (ci cardinale finite), atunci cele enuntate revin la dim Ker A = 0 daca si numai daca dim Im A = dim V.

Daca spatiul vectorial nu este finit dimensional, contraexemple se pot da usor.
Fie V de exempul spatiul vectorial cu baza camerele unui hotel cu numar numarabil de camere, notate 1,2,3,...
Atunci putem defini aplicatii pe baza. Chiar si fara a face apel la combinatii liniare complicate, facem rost de cateva cazuri de testat cele afirmate, ducand camere in camere (nu in combinatii liniare de camere). De exemplu, ce se intampla in cazurile urmatoare:

In fiecare camera este un individ. Cerem
- sa se mute indivizii cu o camera mai incolo, deci 1 in 2, 2 in 3, ... (Injectivitatea e clara, nesurjectivitatea la fel.)
- sa se mute indivizii in camera cu numar dublu mai incolo, deci 1 in 2, 2 in 4, 3 in 6 ... (nesurjectivitatea este "grasa rau", un subspatiu de dimensiune infinita nu este complementar imaginii)
- sa se mute indivizii cate doi in camera, deci 1,2 in 1, apoi 3,4 in 2, apoi 5,6 in 3...
(surjectiviatea e ok, neinjectivitatea clara)
- sa se mute indivizii cate N in camera N, deci 1 in 1, 2,3 in 2, apoi 4,5,6 in 3... etc