Sa se arate ca trapezul in care diferenta diagonalelor este egala cu diferenta laturilor neparalele este isoscel. Care ma poate ajuta cu rezolvarea? Ma pregatesc de clasa a 9a.

Consideram un trapez ABCD cu AB paralela la CD.
Pentru a avea un mod de "comparat", prefer sa mut laturile neparalele si diagonalele prin paralelism incat sa inceapa toate din A. Duc paralele, deci prin A... Notez AB = a (lungimea).

Reformulare:

Fie ACD un triunghi oarecare.
Pe latura CD luam doua puncte X si Y cu XC = DY = a.
Sa se demonstreze ca daca diferentele urmatoare sunt egale

AX - AY = AC - AD sau
AX - AC = AY - AD

atunci triunghiul ACD (sau triunghiul AXY) este isoscel.

O soultie "strict geometrica" se poate da daca vedem ca putem reformula scaderile de mai sus incat sa dam doar de adunari, deci A se afla
pe de o parte pe o anumita elipsa de focare A si D si
pe de alta parte pe o eclipsa simetrica fata de mediatoarea lui CD de focare C si Y. Aceste elipse se taie intr-un singur punct, care este desigur pe axa de simetrie.

O solutie ceva mai analitica de a 11a ar putea sa incerce sa demonstreze ca functia ce descrie prin formule diferenta AX-AC,

este strict crescatoare ca functie de x. Se calculeaza derivata lui f dupa variabila x (cu parametrii considerati ficsi a,h)

si se compara cu zero (inecuatie de rezolvat).
Aici

fie lucram "brut" ducand un termen pe cealalta parte, ridicand la patrat, multiplicand cu numitorul comun, inmultind, simplificand multii termeni egali...
(acest lucru nu este de subestimat psihologic in conditii de examen sau de olimpiada, daca o solutie este urata, dar este vizibila cu cap si coada si ne scapa de un impas)

fie rescriem

si la fel si pentru celalalt termen si lucurile sunt clare.