Astfel de probleme au ap?rut înca de pe vremea lui Fermat,
pe acea vreme îns? astfel de probleme ``scurile'' nu aveau alt rost decât de a ar?ta lumii (de fapt mai mult sau mai pu?in cur?ii regale sau imperiale) c? în concursurile de pus reciproc de probleme unul e mai tare decât cel?lalt - dup? câ?tigarea unui astfel de concurs despre curbe eliptice, oamenii aveau dreptul consacrat s? adune pentru un bilan? sau o contabilitate acolo numere relativ mici. Lucrurile sunt deci identice cu ce se întâmpl? azi în ``lumea mare din afara înv???mântului'').
Bun, la problem?. Instantaneu voi reformula problema sub forma afin?, dup? ce am pomenit ceva despre solu?ia
compatibil cu enun?ul, ?i m? ocup echivalent de ecua?ia de rezolvat peste
:
[/equation]
(curb? algebric? pe care se afl? punctul
, dup? care imediat ne punem problema unde taie tangenta în
la curb? de ecua?ie
înc? o dat? curba, d?m repede de punctul
)
care dup? substitu?ia liniar? standard (care duce
în punctul de origine iar tangenta
în una din axe, dup? rescriere în coordonate
)
revine la ecua?ia urm?toare:
pe care trebuie s? o rezolv?m echivalent în variabilele
. (Am f?cut o schimbare liniar? de variabile.) Deci punctul
s--a transformat între timp în
, iar
în
în scriere în coordonate
. Urmeaz? o schimbare de variabile mai complicat?, care este însa standard în teoria curbelor eliptice (?i aducerea la forma canonica Weierstrass). Cum pot s--o explic? Consider?m o dreapt? ce trece prin
, punct de pe curba. Ecua?ia unei astfel de drepte este de forma
, unde parametrul pant?
este arbitrar. Aceast? dreapt? mai taie elipsa de ecua?ie
în înc? dou? puncte pe care le ob?inem u?or, cu cuno?tintele de clasa a IX-a, ca func?ie de
. Aceast? ecua?ie este {\itshape a priori} o ecua?ie de gradul III în
cu parametrul
, dar
este deja o solu?ie. R?mâne ecua?ia de gradul doi r?mas?, care se scrie:
Discriminantul acestei ecua?ii de forma
este
(corespondentul lui
) o func?ie
de
de grad
. Deoarece pentru o solu?ie
ra?ional? aceast? func?ie de parametrul pant?
(cazul
conduce la punctele deja cunoscute
cu multiplicitate doi ca s? fim exac?i ?i
) trebuie s? fie num?r ra?ional suntem natural înclina?i s? introducem:
În cazul nostru, un calcul cu computerul livreaz? explicit:
Aceasta este ecua?ia ceva mai simpl? a unei curbe eliptice echivalente. (Câ?tigul este totu?i mare, deoarece ne apropiem de o form? ceva mai ``factorizabil?''.) Aici
?i
.
Reciproc, putem s? expsim?m ?i
algebric în func?ie de
, dac? ne aducem aminte de formula solu?iei ecua?iei de gradul doi
sub forma
. Este deci normal s? încerc?m, în parte uitînd complet de cele de mai sus, s? vedem dac? substitu?iile urm?toare se corespund echivalent
?i transform? curba eliptic? de ecua?ie
în curba eliptic? de ecua?ie
.
(Acesta este un calcul algebric u?or de verificat simbolic cu computerul, de exemplu.) Las acest lucru ca tem? de cas?.
Bun, mai departe cu curba noastr?.
Din motive de ``normare'' in speran?a c? d?m de o curb? eliptic? ``cunoscut?'' (?i declarat? deja într--o banc? ce date de curbe eliptice), încerc?m s? facem schimb?ri algebrice astfel încât s? d?m de forma normal?
unde
sunt numere ra?ionale convenabile. Destul de repede vedem c? ajungem la ?el dac? înmul?im ecau?ia dat? (încât s? form?m pe lâng?
p?trate de numere întregi iar pe lâng?
cuburie de numere întregi) cu
?i facem mai departe schimbarea de variabile (standard)
Aici,
. Ei bine, de aici lucrurile pot fi puse deja în mâna masinilor de calculat pentru a vedea cum stau lucrurile. Este bine de ?tiut c? mul?imea punctelor ra?ionale
ce satisfac aceast? ecua?ie, în nota?ie
formeaz? un grup abelian finit generat. Acel
provine din extindere la o curb? proiectiv?, fiind elementul neutru.
Rangul este finit. Grupul de torsiune este explicit calculabil, iar generatori pentru ``adunarea'' de pe
se pot calcula cu algoritmi cunoscu?i. Teorema factorilor invarian?i ne spune c? avem
Aceast? opera?ie, ``adunarea'' de pe
, nu se define?te chiar simplu, îns? la un studiu de câteva zile motivul geometric din defini?ie îi arat? buna definire, faptul c? din punct de vedere geometric avem construc?ii simple, dar din punct de vedere algebric formulele nu sunt deloc intuitive sau u?or de manipulat. În cazul nostru întreb?m mai întâi computerul:
Aceasta este ce tip?rim. Rezultatele sunt urm?toarele (u?or ajutate de mân? ca s? intre pe pagin?):
Bun. Ca s? r?spund ceva ?i la problema ini?ial?, voi încerca cu computerul s? v?d ce corespunde generatorului
, ?i de exemplu lui
. Codul este urm?torul:
Aici am definit toate func?iile care au ap?rut în descrierea de mai sus frumos algebric. Am v?zut (sau g?sit sau cer?it) c? punctul generator
de coordonate
?i
satisface
. Iat? pentru acest punct ce ?i cu cine se corespunde:
Am g?sit astfel c?
satisface ecua?ia dat?. Dar s? d?m de ceva numere mai mari\dots Plec?m cu
.
Ar mai fi multe de spus, dar am câteva c?m??i de c?lcat.
Access general
Conţine mesaje necitite
