Computerul are implementata urmatoarea ramura a logaritmului:
dan@riemann:~/sage/sage-4.4.3-linux-32bit-ubuntu_10.04_lts-i686-Linux$ ./sage
----------------------------------------------------------------------
| Sage Version 4.4.3, Release Date: 2010-06-04 |
| Type notebook() for the GUI, and license() for information. |
----------------------------------------------------------------------
sage: log(I)
1/2*I*pi
De mentionat aici ca functia exponentiala definita pe multimea numerelor complexe cu valori in multimea numerelor complexe nu este bijectiva. Ea este periodica de perioada (2*pi*I) . Relatia lui Euler arata ca acest lucru revine la "dogma" liceana potrivit careia sinusul si cosinusul sunt periodice de perioada minima (2*pi), desi nu sunt definite (riguros) nicaieri. De fapt, manualele de analiza de facultate pun (uneori) istoria inventarii acestor obiecte in alta ordine, introduc mai intai serii de puteri pe numere complexe, de aici pot defini functia exponentiala prin relatia
si se demonstraza prin combinatorica (formula binomiala + schimbarea ordinii de sumare in serii absolut convergente) respectiv prin continuitatea (izometria) aplicatiei de conjugare complexa de la C la C
De aici definim sinusul si cosinusul ca functii IR -> IR ca parte reala respectiv imaginara din t -> exp(it) si rezulta destul de repede continuitatea lor, respectiv faptul ca cos ia un singur zero pe intdervalul (0,2) . Definim pi astfel incat acest zerou sa corespunda dogmei.
Din definitia de mai sus rezulta ca exp are perioada "minima" (generator al laticei de perioade, o latice discreta de dimensiune unu) 2*pi*I. De aceea avem de restrans domeniul si codomeniul incat inca sa ramana "domenii complexe" (germana Gebiet, engleza poate open domain), astfel incat sa dem de cate o functie bijectiva. Fiecare din acestea are o inversa, care se numeste ramura a logaritmului. De fapt cel mai bine definim logaritmul ca o functie multivaluata.
Ei bine, ramura "principala" (intre conventiile umane) e de asa natura incat sa avem relatia de mai sus.
Access general
Conţine mesaje necitite
