Fie 9 puncte intr-un patrat de latura 2. Sa se arate ca intre aceste puncte exista 3 care sunt varfurile unui triunghi cu aria de cel mult 1/2.

Impartim patratul in 4 "patratele" de latura 1(unind mijloacele laturilor opuse).Fiind 9 puncte situate in 4 patratele sigur exista un patratel in interiorul caruia se afla cel putin 3 puncte(acestea pot fi asezate si pe laturi).Aria triunghiului determinat de cele 3 puncte este cel mult 1\2(este 1\2 daca cele 3 puncte sant chiar varfuri ale patratelului)

Ca aplicatie frumoasa la principiul cutiei:demonstrati ca exista un numar natural cu cel mult 2007 cifre,format doar cu cifrele 0 si 1,care sa fie divizibil cu 2006.
Ca aplicatie mai grea:demonstrati ca exista un numar cu cel mult 1004 cifre,format doar cu cifrele 0 si 1,care sa fie divizibil cu 2006.

[Citat] Impartim patratul in 4 "patratele" de latura 1(unind mijloacele laturilor opuse).Fiind 9 puncte situate in 4 patratele sigur exista un patratel in interiorul caruia se afla cel putin 3 puncte(acestea pot fi asezate si pe laturi).

De acord.

[Citat] Aria triunghiului determinat de cele 3 puncte este cel mult 1\2

De acord si aici. Insa aici cred ca ar trebui scrisa o justificare pentru faptul ca aria maxima este 1/2. Nu este chiar atat de evident. Asta este partea unde este de lucru la aceasta problema.

[Citat] (este 1\2 daca cele 3 puncte sant chiar varfuri ale patratelului)

Este adevarat pentru cele 3 varfuri, dar nu numai. Mai sunt si alte configuratii!