Va rog cine ma ajuta sa rezolv aceasta problema ca nu mai stiu cum se face..

Se considera ecuatia 2x^2+2(m+2)x+m^2+4m+3=0 cu m apartine lui R.
Pentru ce valori reale ale lui m ecuatia are cel putin o solutie in Z?

Am doar raspunsul stiu ca m apartine {-3,-1}.
Multumesc!

[Citat] Va rog cine ma ajuta sa rezolv aceasta problema ca nu mai stiu cum se face.. Se considera ecuatia 2x^2+2(m+2)x+m^2+4m+3=0 cu m apartine lui R. Pentru ce valori reale ale lui m ecuatia are cel putin o solutie in Z? Am doar raspunsul stiu ca m apartine {-3,-1}. Multumesc!

Avem

Si cum

, vedem ca problema este cu divizibilitate (numaratorul sa fie multiplu de 4), dar si cu existenta lui

, deci discriminantul trebuie sa fie ori zero, ori pozitiv.

Asadar, pentru ca numaratorul sa fie multiplu de 4, e clar ca m trebuie sa fie intreg. Acum, daca ne ocupam de discriminantul ecuatiei, observam ca el se anuleaza pentru

, care nu ne convine, din consideratia de mai devreme. Ramane varianta cu

. Si cum acea functie de gradul 2

, intersectand cu multimea numerelor intregi (si impare ), ar trebui sa obinem cele doua valori mentionate, care fac si numaratorul multiplu de 4.

(Sper ca n-am gresit la calcule si ca n-am facut "din tantar, armasar"...)

[Citat] [Citat] Va rog cine ma ajuta sa rezolv aceasta problema ca nu mai stiu cum se face.. Se considera ecuatia 2x^2+2(m+2)x+m^2+4m+3=0 cu m apartine lui R. Pentru ce valori reale ale lui m ecuatia are cel putin o solutie in Z? Am doar raspunsul stiu ca m apartine {-3,-1}. Multumesc! Avem Si cum , vedem ca problema este cu divizibilitate (numaratorul sa fie multiplu de 4), dar si cu existenta lui , deci discriminantul trebuie sa fie ori zero, ori pozitiv. Asadar, pentru ca numaratorul sa fie multiplu de 4, e clar ca m trebuie sa fie intreg.

Nu cred ca acest argument merge.

[Citat] Acum, daca ne ocupam de discriminantul ecuatiei, observam ca el se anuleaza pentru , care nu ne convine, din consideratia de mai devreme. Ramane varianta cu . Si cum acea functie de gradul 2 , intersectand cu multimea numerelor intregi (si impare ), ar trebui sa obinem cele doua valori mentionate, care fac si numaratorul multiplu de 4. (Sper ca n-am gresit la calcule si ca n-am facut "din tantar, armasar"...)

Pentru ca sa mai simplificam calculele, hai sa notam

[Citat] Pentru ca sa mai simplificam calculele, hai sa notam

Super idee!Imi spuneti ,va rog,daca exista un motiv anume pentru care ati ales notatia asta.(Adica,ma tot uit la ecuatie ce bine arata dupa transformare,si mi-ar placea sa stiu "care e motivul")

Altfel: considerând ecua?ia cu necunoscuta

, discriminantul este

, deci dac? ecua?ia ini?ial? are o r?d?cin? întreag?, aceasta nu poate fi decât

sau

. Înlocuind pe rând, ob?inem

[Citat] [Citat] Pentru ca sa mai simplificam calculele, hai sa notam Super idee!Imi spuneti ,va rog,daca exista un motiv anume pentru care ati ales notatia asta.(Adica,ma tot uit la ecuatie ce bine arata dupa transformare,si mi-ar placea sa stiu "care e motivul")

De fapt am notat initial m+2=k si apoi gasind disriminantul 2-k^2, ca sa scap de radical am luat k de forma indicata.

Ce-ar fi daca gandim asa :
Scriem ecuatia sub forma echivalenta:

, care este echivalenta cu:

adica:

Carevasazica

si prin urmare :

deci

,apoi

(la fel!) si

si obtinem

Prin urmare

.