EDIT: 4. Fie f o functie reala, strict descrescatoare si continua, cu f(0)=1. Daca

este finita, atunci, aceasta integrala este:
a) mai mica decat

b) mai mare decat

c) egala cu cea de la a)
d) egala cu cea de la b)
e) egala cu

Scuze.

[Citat] [Citat] [Citat] [Citat] De obicei la probleme de acest gen se aproximeaza repartitia binomiala cu una normala. Nu stiu insa daca la GRE este permisa folosirea calculatorului. Nu, nu e voie cu calculator, dar variantele de raspuns nu sunt exacte, sunt ceva de genul a) intre 0.1 si 0.5 ; b) mai mic de 0.1; c) mai mare de 0.1 etc.. Fara calculator sau o tabela de valori a repartitiei normale standard, nu avem cum sa calculam probabilitatea si putem incerca sa facem doar niste estimari foarte largi. Nu am cum sa raspund fara a avea lista exacta de raspunsuri propuse la GRE. a) > 0.5 b) intre 0.16 si 0.5 c) intre 0.02 si 0.16 d) intre 0.01 si 0.02 e) < 0.01 Dati, va rog, solutia pe larg; nu imi este familiara metoda utilizarii repartitiei normale (ca dovada ca nu am stiut ca este un caz in care se poate aplica).

Fie X numarul de aparitii ale lui 6. Aceasta este o variabila aleatoare de repartitie binomiala

.
Cum np=60>5 si n(1-p)=300>5, repartitia binomiala de mai sus poate fi aproximata cu o repartitia normala de aceasi medie

si aceasi dispersie

. Probabilitatea de calculat pentru repartitia binomiala data este

. Facand corectia de continuitate pentru aproximare vom calcula cu repartitia normala

Nu ne mai ramane decat sa observam ca

Raspuns corect c).

Observatii: am notat cu F functia de repartitie (cumulative distribution function) a repartitiei normale standard N(0,1). In invatamantul din SUA se presupune ca majoritatea studentilor sunt familiarizati cu cateva valori foarte importante F(1,28)=0,9 , F(1,645)=0,95 , F(1.96)=0,975 si F(2,33)=0,99

[Citat] 2. Pentru a aproxima utilizam polinomul . Care este eroarea aproximatiei ( )?

Dezvoltarea Taylor de ordinul 2 a functiei

in jurul punctului a=1, este data de

. Eroarea aproximarii lui f(x) prin p(x) este de cel mult

, unde M este maximul derivatei de ordinul 3 a lui f pe intervalul [1-0.01,1+0.01].

[Citat] Incercarile mele: 3. Nu stiu ce gresesc, pentru ca problema seamana izbitor cu alta pe care am mai pus-o de curand, cea cu moneda aruncata de 100 ori si vreau sa pice de macar 50 ori cap, sau ceva asemanator. Gandesc, deci, asa: numarul cazurilor posibile: . Cazuri favorabile: (Relatie falsa.) Dar parca nu arata bine...

Este intotdeauna bine sa vedem cum gandesc cei ce intra pe un domeniu nou, (lucru care mi se intampla si mie zilnic), pentru ca de cele mai multe ori drumul incercat este bun si bine ancorat intuitiv in modul de gandire, iar micile puncte ce trebuie usor aranjate pun mana "pe rana", singurul mod de a da de ele si vindeca. Bun in cazul de fata este bine sa comparam

"pasul mic" de modelare a unui pomisor de recombinare intre ce avem cu zarul si fata cu 6 (sau povestea cu o moneda si alegrea capului ca fatza favorabila) si ceea ce genereaza la recombinare

cu ceva ce seamana cu formula de mai sus...

Atunci, poate este indicat sa calculam din prima probabilitatea evenimentului descris, care este...

Mai mult nu putem face in cazul p=1/6, q=5/6 si nici nu se vrea in manualele din multele tari apusene care au asa ceva in manualele de liceu. La capatul lor se si afla cateva valori pentru repartitia binomiala...

Pentru cazul p=q=1/2 (moneda) avem norocul de a da factor comun...

Mai sus s-a dat explicit solutia ceruta in cazul in care p si q difera...

[Citat] 4. Am facut un desen exemplificativ. Am luat o functie care scade din (0,1) asimptotic catre 0, la infinit, pentru a avea acea integrala improprie finita. Apoi fac desenul simetric fata de prima bisectoare ca sa obtin o "schita" pentru inversa functiei si dupa desen, mie mi se vede a)...

Solutia merge asa.
In primul rand trebuie sa mentionam ca functia converge la 0 pentru x -> oo, deoarece altfel nu am da de o integrala convergenta. Avem acum o poza de forma...

Daca ne uitam la portiunea stelata de sub graficul functiei... numita f, pana la axa orizontala scriem

Daca ne uitam la portiunea stelata din stanga ecranului c^ash si acceptam o axa care merge "la stanga", avem o arie sub graficul functiei... numita g -sa zicem-, pana la axa verticala.

Mai ramane sa "vedem" ca g este inversa lui f.

(Ambele integrale sunt improprii...)
Tema de casa: Care este substitutia (citita de pe grafic...) ce chiar demonstreaza prin teorema schimbarii de variabile egalitatea? Sa se clarifice amanuntele. Care este de exemplu formula pentru g'(y) folosind doar f' (in care punct)? Cum se "vede" aceasta formula pe "graficul comun"?

[Citat] 5. Din nou, o problema de limbaj. Daca persoana isi vede doar picioarele, atunci stiu sa fac, raspunsul de bun simt fiind a), chiar cel corect. Daca persoana se vede toata, fix pana la picioare, atunci fac un triunghi dreptunghic, cu o cateta verticala t, una orizontala d si...h nu mai apare. Ori iar speculez prea mult, ori sunteti de acord cu mine ca ar fi fost o exprimare mai fericita can ONLY see.... (De exemplu, daca zic "The graph of y=sin(x) is just near the graph of y=x, for 0<x<1.", inseamna ca e foarte aproape.) Ar fi interesanta o solutie cu o mica schema si eventual tratate ambele cazuri, in care persoana intra toata, fix pana la picioare sau in care isi vede doar picioarele.

Poate ca suntem in situatia (sectiune prin perete si lumea virtuala din spatele oglinzii)

in care persoana (poate ca nu isi vede capul, dar) numai bine isi vede picioarele... (dar nimic mai mult. La fix, in ce priveste picioarele.)

[Citat] [Citat] 4. Am facut un desen exemplificativ. Am luat o functie care scade din (0,1) asimptotic catre 0, la infinit, pentru a avea acea integrala improprie finita. Apoi fac desenul simetric fata de prima bisectoare ca sa obtin o "schita" pentru inversa functiei si dupa desen, mie mi se vede a)... Solutia merge asa. In primul rand trebuie sa mentionam ca functia converge la 0 pentru x -> oo, deoarece altfel nu am da de o integrala convergenta. Avem acum o poza de forma... Daca ne uitam la portiunea stelata din stanga ecranului c^ash si acceptam o axa care merge "la stanga" , avem o arie sub graficul functiei... numita g -sa zicem-, pana la axa verticala. Mai ramane sa "vedem" ca g este inversa lui f.

Nu inteleg secventa colorata de mine.

Intr-adevar, si eu am desenat asemanator si-mi sunt clare argumentele pentru f, dar pentru inversa ei am desenat simetricul fata de prima bisectoare (parca asa se obtinea inversa, grafic) si am dat peste o functie crescatoare g, care porneste din (0,-1), trece prin (1,0) si apoi creste, de aceea eram tentat sa cred ca e mai mare integrala pt g.

(Daca mai capat experienta, poate si urc pe pagina mazgaliturile mele grafice )

[Citat] Intr-adevar, si eu am desenat asemanator si-mi sunt clare argumentele pentru f, dar pentru inversa ei am desenat simetricul fata de prima bisectoare (parca asa se obtinea inversa, grafic) si am dat peste o functie crescatoare g, care porneste din (0,-1), trece prin (1,0) si apoi creste, de aceea eram tentat sa cred ca e mai mare integrala pt g. (Daca mai capat experienta, poate si urc pe pagina mazgaliturile mele grafice )

Avem

(evident in sens de limita), deci inversa g nu are cum sa treaca prin (0,-1). Imaginea intervalului

prin functia f este

, deci g este definita pe (0,1] si nu exista g(0).

In plus, f descrescatoare implica g descrescatoare.

[Citat] Avem (evident in sens de limita), deci inversa g nu are cum sa treaca prin (0,-1). Imaginea intervalului prin functia f este , deci g este definita pe (0,1] si nu exista g(0). In plus, f descrescatoare implica g descrescatoare.

Acum e clar, numai din analiza acestor intervale, care este raspunsul corect.

Multumesc foarte mult din nou si sper ca n-am parut prea insistent cu cele 3 liste pe care le-am pus.

Ce am vrut sa spun cu acel grafic e cam asa... Daca avem doua axe

y
^
|
| *(x=g(y),y=f(x))
|
|
O--------------------> x

si o functie desenata prin graficul ei y=f(x), bijectiva, atunci inversa functiei se vede cel mai bine daca "ne uitam din stanga" la pagina, deci vazand axa Oy de dedesubt. Astfel, daca f0,a) -> (0,b) este continua, integrabila, bijectiva (strict crescatoare), atunci are loc:

intuitia vazand aceeasi arie hasurata...
(Demonstratia este pentru o functie derivabila f atunci data de teorema de substitutie.)

[Citat] Ce am vrut sa spun cu acel grafic e cam asa... Daca avem doua axe y ^ | | *(x=g(y),y=f(x)) | | O--------------------> x si o functie desenata prin graficul ei y=f(x), bijectiva, atunci inversa functiei se vede cel mai bine daca "ne uitam din stanga" la pagina, deci vazand axa Oy de dedesubt. Astfel, daca f0,a) -> (0,b) este continua, integrabila, bijectiva (strict crescatoare), atunci are loc: intuitia vazand aceeasi arie hasurata... (Demonstratia este pentru o functie derivabila f atunci data de teorema de substitutie.)

Lamurit, multumesc.