Intrebare (scuze daca e prosteasca,dar nu reusesc sa ma lamuresc)
Daca o functie are puncte de discontinuitate de speta intai,ea nu poate avea PD,dar daca are puncte de discontinuitate de speta a doua,poate avea PD.?

[Citat] Intrebare (scuze daca e prosteasca,dar nu reusesc sa ma lamuresc) Daca o functie are puncte de discontinuitate de speta intai,ea nu poate avea PD,dar daca are puncte de discontinuitate de speta a doua,poate avea PD.?

Intrebarea de mai sus poate fi pusa astfel:

Exista functii cu proprietatea lui Darboux si cu discontinuitati de speta a doua?

Intrebare nu este deloc prosteasca si este legata de modul in care numele lui Darboux a fost atasat functiilor numite acum cu "proprietatea lui Darboux". Darboux a demonstrat ca exista functii discontinue fara "proprietatea lui Darboux". Aceaste functii trebuie sa aiba doar discontinuitati de speta a doua (altfel n-ar avea "proprietatea lui Darboux"). Un asemenea exemplu este destul de usor de scris daca ne aducem aminte de o teorema de clasa a XI (de fapt asta este teorema lui Darboux)

Orice derivata are proprietatea lui Darboux

Este suficient deci sa gasim o derivata care nu este functie continua. De exemplu functia

are derivata discontinua in 0.

Un asemenea exemplu cu o singura discontinuitate poate fi considerat prea simplist. Un exemplu mult mai tare de functie discontinua peste tot si cu proprietatea lui Darboux a fost gasit de John Conway. A se vedea

http://en.wikipedia.org/wiki/Conway_Base_13_function