încerc sa dau mai întâi un fel de poz?, pentru a mai fixa din nota?ii:
F?r? a restrânge generalitatea voi presupune c? latura cubului este de lungime unu. Notez lungimea IE mai departe cu
a
in loc de alpha, deoarece ma ajuta poate la tiparit.
Am introdus punctele N, P ?i Q dup? cum urmeaz?:
M este mijlocul (dat) al lui EF.
N este mijlocul lui GH.
În particulat MN este paralel? cu latura cubului GF (?i la celelalte trei).
Dreapta AM taie dreapta IF într-un punct P situat între I ?i F.
Ducem prin P o paralel? la latura cubului GF (?i la celelalte trei).
Aceast? paralel? taie dreapta IG în Q.
Atunci este clar c? planul ADM este planul dreptunghiului ADMN care taie fa?a
IFG
a piramidei coif de corp dat dup? dreapta PQ.
Deci corpul nostru este t?iat în doua corpuri ?i mai devreme sau mai târziu avem de calculat un volum mai muncitoresc. (Nu am g?sit nici un truc natural, care s? îl pot motiva didactic.)
Mai devreme sau mai târziu avem nevoie s? calcul?m si raportul
b = IP : IF ,
pentru aceasta aplic?m teorema lui Menelaos în triunghiul IFE cu dreapta secanta PMA. D?m de:
De aici sper c? d?m de
Suntem acum la punctul de a calcula câteva volume, ca s? mai strângem puncte din barem ?i s? avem un sentiment mai bun asupra posibilit??ii iluzorii c? problema se va termina curând.
Volumul cubului ( ABCD EFGH ) este 1 la cub, deci 1.
Volumul piramidei ( I EFGH ) este a/3, deoarece baza este un p?trat de latur? unu, deci de arie unu, iar în?l?imea este IE=a.
Volumul prismei triunghiulare ( AEM DHN ) este 1/4, deoarece aria triunghiului dreptunghic AEM este 1/4.
Pentru prisma cu baz? trapez dreptunghic ( ABFM DCGN ) r?mâne din tot cubul deci un volum egal cu 1-1/4 = 3/4.
Acum chiar trebuie s? ne leg?m de corpul cel enervant, politopul cu v?rfurile M,P,F ?i N,G,Q. Ce este acest corp ?i cum îi calcul?m volumul lui X depinzând de a? Cred c? cel mai bine este s?-l spargem într--o prism? dreapt? cu baza triunghiul PMF ?i cu în?l?imea PQ. Ceea ce r?mâne este o piramid? cu vârful Q ?i cu baza o bucat? bine determinat? din dreptunghiul MFGN.
(i) Calcul?m volumul prismei mai întâi. Fie PP' în?l?imea triunghiului PMF. Din asem?nare, avem
PP' : IE = FP : FI = (1-b)
Deci în?l?imea PP' are lungimea (1-b)IE = (1-b)a .
Din asem?nare, Thales, avem de asemenea
PQ : EF = IP : IF = b .
Deci PQ = b. Volumul buc??ii prismatice din corpul urât este deci:
MF . PP' . PQ / 2 = ab(1-b) / 2 .
(ii) Piramida r?mas? are ca baz? dreptunghiul cu laturi de lungimi GN=1/2 ?i (GF-PQ)=(1-b) ?i ca în?l?ime aceea?i PP' deja calculat?. D?m de un volum egal cu (1/2) (1-b)a (1-b) / 3 .
Restul îl calculez desigur cu computerul. Cer scuze, dar sper c? liniile urm?toare sunt cât de cât sugestive...
var( 'a,b' ) # definesc a,b ca variabile
solve( b/(1-b) * 1/1 * 1/(1+a) == 1 , b )
b = (a + 1)/(a + 2)
V = 1+a/3
X = (1/2) * b * (1-b)*a + (1/2)* (1-b)*a * (1-b) / 3
X . factor()
eq = ( X + 3/4 - V/2 == 0 )
eq . factor()
solutii = solve( eq , a, solution_dict=True )
for solutie in solutii:
print solutie[a] . n( digits = 10 )
SolutiaReala = solutii[2][a] # am vazut ca ultima e cea reala
SolutiaReala
# latex( SolutiaReala ) # poate fi cerut...
SolutiaReala . n( digits=50 )
plot( 2*a^3 - a^2 - 12*a - 12, a, 3, 3.5 )
Dac? las sage s? ruleze pe ele dau de...
sage: var( 'a,b' ) # definesc a,b ca variabile
(a, b)
sage: solve( b/(1-b) * 1/1 * 1/(1+a) == 1 , b )
[b == (a + 1)/(a + 2)]
sage: b = (a + 1)/(a + 2)
sage: V = 1+a/3
sage: X = (1/2) * b * (1-b)*a + (1/2)* (1-b)*a * (1-b) / 3
sage: X . factor()
1/6*(3*a + 4)*a/(a + 2)^2
sage: eq = ( X + 3/4 - V/2 == 0 )
sage: eq . factor()
-1/12*(2*a^3 - a^2 - 12*a - 12)/(a + 2)^2 == 0
sage: solutii = solve( eq , a, solution_dict=True )
sage: for solutie in solutii:
....: print solutie[a] . n( digits = 10 )
....:
-1.290131259 - 0.5323976496*I
-1.290131259 + 0.5323976496*I
3.080262518
sage: SolutiaReala = solutii[2][a] # am vazut ca ultima e cea reala
sage: SolutiaReala
(1/6*sqrt(2)*sqrt(71) + 757/216)^(1/3)
+
73/36/(1/6*sqrt(2)*sqrt(71) + 757/216)^(1/3)
+
1/6
sage: SolutiaReala . n( digits=50 )
3.0802625184556945778176427584136313599177647797452
sage: plot( 2*a^3 - a^2 - 12*a - 12, a, 3, 3.5 )
Am mai editat cu mâna.
Iar ultimul plot îmi d? drumul la un viewer pe o imagine pgn, pe care nu ?tiu s? o introduc aici. De aceea folosesc PARI/GP un raw plot (plot grosier, arta ascii) ca s? dau un fel de contur al func?iei de a din ecua?ia ob?inut?...
În fine, dac? nu am gre?it pe undeva mult mai sus la calcule, lucru foarte probabil, solu?ia exact? scris? cu radicali în limbaj cât de cât uman (dup? formulele lui Nicolo Tartaglia, cred, deoarece nu apare r?d?cin? p?trat? din num?r negativ) este:
sage: u = ( 757 + 36*sqrt( 142 ) )^(1/3)
sage: v = ( 757 - 36*sqrt( 142 ) )^(1/3)
sage: ( (1+u+v)/6 ) . n(digits=50)
3.0802625184556945778176427584136313599177647797452
Access general
Conţine mesaje necitite
