Fie ABCD un patrat si punctele

.Sa se arate ca daca

,atunci triunghiul AMN este ascutitunghic.

Solutie de clasa a 7-a (cu siguranta exista si o alta mai frumoas?).Intoducem niste notatii si calculam :

Exprimam acum,tot cu teorema cosinusului cos(M);cos(N)in triunghiul AMN si gasim valori pozitive.

Incerc sa desenez ceva fara a desena...

Fie M un punct arbitrar pe BC.
Din M ducem perpendiculara pe AM, care va taia CD intr-un punct N'.
Triunghiurile ABM si MCN' sunt asemenea, iar AB >= MC sunt doua laturi care se corespund. (Rescriem eventual cu proportii MC : AB <= 1 .)
De aceea si ipotenuzele in cele doua triunghiuri respecta o relatie de inegalitate corespunzatoare.
Atunci in triunghiul dreptunghic AMN' unghiurile opuse acestor laturi respecta de asemenea o inegalitate...
Rezulta ca in particular unghiul N'AM este mai mic sau egal (in masura) cu o jumate de unghi drept. Deci punctul N se afla in interiorul segmentului DN' (sau in D, dar nu si in N').
Deci < NMA este strict sub < N'MA care este drept.

Prin simetrie, si celalat unghi este sub un unghi drept.

Rezulta cele cerute in enunt.