Sa se determine a,b numere reale astfel incat:

[Citat] Sa se determine a,b numere reale astfel incat:

Consideram membrul stang ca functia f(a,b). Punand conditiile de existenta ale radicalilor obtinem domeniul de definitie al acestei functii. Fiind continua pe domeniu si diferentiabila pe interiorul lui, f isi atinge extremele pe frontiera domeniului sau in punctele critice. Valoarea 8 trebuie sa fie o valoare extrema a functiei (altfel din considerente de continuitate ar exista o infinitate de solutii). Nu va mai ramane decat sa calculati derivatele partiale de odinul intai si sa aflati punctele critice. Daca in niciunul din ele f nu este egala cu 8, atunci studiati restrictia lui f pe frontiera domeniului. Aceasta este formata din 3 functii de o variabila ale caror extreme se studiaza iar cu derivate, de data asta ca la clasa XI.

[Citat] Sa se determine a,b numere reale astfel incat radicali ce intervin sunt numere reale si are loc:

Modul corect de a intelege astfel de functii este prezentat excelent mai sus!

Intelegerea in matematica este esenta. Si eu am fost condus pe drumuri gresite cat timp fiind licean ma duceam la olimpiade, loc unde se dadeau probleme in care se cauta ce artificiu din lista se poate aplica.
(Gresit, deoarece problema in matematica este de a vedea in ce domeniu de matematica traieste problema si ce instrumente ii sunt specifice. In cazul nostru, acest lucru este clar. Banuim ca acel 8 este extrem, din motive psihologice, altfel am avea de gasit punctele de "egal nivel" pe dealul graficului 3-dimensional al unei functii urate...)
(Cand o problema interesanta sau fundamentala nu mai poate fi tratata cu mijloacele existente, dam de cercetarea matematica. Elevii trebuie adusi in cativa ani fie la marginea cercetarii fie la a intelege ce este facut deja in matematica - cam acelasi lucru. Partea estetica a matematicii va face deja din asa ceva un fel de sport pe viata.)

Pentru a vedea cat de scurile sunt insa ideile oamenilor ce propun astfel de probleme, iata mai departe cateva randuri care arata ca acel 8 este maxim cu trucaje maxime pe loc minim.

In primul rand m-am enervat pe numerele aiurea de sub radicali, am substituit

2a-b+1 = x
3a-2b = y

pentru a da de ceva mai digestibil,

de rezolvat dupa x,y >= 0 cu x+y <= 4. Macar ne aflam pe un triunghi mai clar. Ce a vrut propunatorul problemei cu acest prim pas. Desigur de a ne sicana si de a ascunde solutia problemei.

Cand vedem ce e mai sus desigur ca ne amintim de inegalitatea Cauchy-Schwarz

si sa o aplicam...

Ca ultima sicana, trebuie sa stim cand are loc egalitatea in C-S, ceva cu proportionalitatea, si sa dam de solutia in x,y...
Ridicand la patrat proportionalitatea A:X = B:Y = C:Z dam de ceva de forma

y:3 = (4-x-y):4 = x:9 = (y+(4-x-y)+x)3+4+9) = 4:16 = 1:4

deci y=3/4 si x=9/4. Recomand a nu se mai inlocui inapoi (decat cu ajutorul computerului sau in examen, daca omul de la catedra chiar insista - el va insista daca a propus aceasta problema).

Multumesc amandurora pentru ajutor si timpul acordat.Cand m-am apucat de problema asta nu ma gandeam ca necesita atata bataie de cap.