[Citat] [Citat] 6. Care din urmatoarele multimi are cel mai mare cardinal: a) R b) Multimea functiilor de la Z la Z c) Multimea functiilor de la R la {0,1} d) Multimea submultimilor finite ale lui R e) R[X] ? Notand c = card R, multimile de mai sus au in ordine cardinalul c, c, 2^c, c, c Raspuns corect c).

Pentru cardinalul multimilor de la b) si d) se poate da o justificare fara un continut bogat de teoria multimilor? Sau chiar si asa, macar ceva indicatii sau nume de rezultate utile..? De fapt, nici |R[X]|=|R| nu prea imi este evident, decat intuitiv..

Multumesc.

[Citat] (i) Exista o surjectie continua de la (0,1) in [0,1]

Da, luam functia care este constanta egala cu 0 pe (0,1/3], liniara cu valorile 0 in 1/3 si 1 in 2/3 (deci x -> 3(x-1/3) = 3x-1) si constanta egala cu unu pe [2/3,1) .

[Citat] (ii) Exista o surjectie continua de la [0,1] in (0,1)

Nu, deoarece imaginea unui compact printr-o functie continua este un compact.
Aici

[0,1] este spatiu topologic compact cu topologia mostenita de pe IR,

dar (0,1), spatiu topologic cu topologia mostenita de pe IR, nu este compact, deoarece din acoperirea cu deschisii (in (0,1) deschisi) D(n) = ( 1/n, 1 ) nu facem rost de una finita.

La nivel de liceu si pentru cazul dat putem sa ne legam de un fel de corolar, anume faptul ca orice functie continua definita pe un compact cu valori in IR isi atinge maximumul.

Presupunem prin absurd ca exista o surjectie continua f:[0,1] -> (0,1).
Atunci ne putem apropia cu un sir de imagini de 1 scris in (0,1). Deci exista un sir (x(n)) din domeniul de definitie cu proprietatea ca ( f(x(n)) ) este un sir ce converge la 1.

Acum, folosind un rationament inductiv de injumatatire a intervalului [0,1], de forma...
Fie I0 intervalul [0,1].
Fie intervalul [0,1/2] , fie daca nu [1/2, 1] contine o infinitate de termeni ai sirului (x(n)) . Luam unul din ele ce contine o infinitate de termeni si il notam cu I1...

Capetele lantului de intervale construite dau doua siruri, unul crescator, unul descrescator. Din monotonie si marginire rezulta convergenta celor doua siruri. Din faptul ca diferenta sirurilor extremitatilor converge la 0 (este sirul 1, 1/2, 1/4, ..) ele au aceeasi limita, l.

Construim un subsir n(k) cu x(n(k)) -> l in acelasi timp. (Axioma alegerii la fiecare pas inductiv.) Folosim si teorema clestelui .

Deoarece f continua duce siruri convergente in siruri convergente, astfel ca limitele se corespund dam de o contradictie. Anume un sir x(n(k)) converge la l in [0,1], dar sirul f( x(n(k)) ) nu poate converge la f(l) care este un numar in domeniul de valori (0,1).

[Citat] (iii) Exista o bijectie continua de la (0,1) in [0,1]

Acest lucru este fals, dar putin delicat daca nu avem informatii despre faptul ca inversa (construita in categoria multimilor) este continua (deci si inversa topologica). "Cel mai simplu" se poate argumenta asa...
Daca exista o astfel de functie, f: (0,1) -> [0,1], bijectie continua, atunci ea ia si valoarea 0. Fie f(a) = 0.
In particular restrictia, notata cu g,

g : (0,1) \ {a} -> (0,1]

este o functie continua si bijectiva. Avem probleme cu proprietatea topologica numita conexiune. La nivel de liceu si pentru problema data, aceasta revine la faptul ca g duce un interval intr-un interval, Darboux. In fine, poate ca cel mai usor argumentam asa...

Alegem arbitrar c, d in (0,1) cu c < a < d.
Imaginile sunt f(c) > 0 = f(a) < f(d) .
Acum fie f(c) > f(d) , fie invers.
In primul caz avem ca f(d) se afla in intervalul deschis cu capetele f(c) si f(a). Atunci (Darboux), exista un k intre c si a cu f(k) = f(d) , contradictie cu injectivitatea, deoarece c < k < a < d . Cazul invers e analog.

Sau: dac? exist? o func?ie continu? ?i bijectiv? de la (0,1) în [0,1] trebuie s? fie strict monoton?, dat atunci imaginea intervalului deschis (0,1) trebuie s? fie tot un interval deschis, a?adar nu poate fi [0,1].

[Citat] [Citat] 6. Care din urmatoarele multimi are cel mai mare cardinal: a) R b) Multimea functiilor de la Z la Z c) Multimea functiilor de la R la {0,1} d) Multimea submultimilor finite ale lui R e) R[X] ? Notand c = card R, multimile de mai sus au in ordine cardinalul c, c, 2^c, c, c Raspuns corect c).

Puteti justifica, va rog, la nivel de licenta, echipotenta multimilor de mai sus, cu exceptia celei de la c)?

Multumesc si pentru celelalte solutii.

Ca sa clarificam limbajul definitiv, la problema 1: onto=surjectiv, one-to-one=injectiv, one-to-one and onto=bijectiv si..."into" inseamna pur si simplu "in" (sau "la")? Asta ma deruta mai mult decat problema in sine, deoarece din liceu ramasesem cu traducerile gresite, se pare.

[Citat] Ca sa clarificam limbajul definitiv, la problema 1: onto=surjectiv, one-to-one=injectiv, one-to-one and onto=bijectiv si..."into" inseamna pur si simplu "in" (sau "la")? Asta ma deruta mai mult decat problema in sine, deoarece din liceu ramasesem cu traducerile gresite, se pare.

Intr-adevar "into B" inseamna doar "codomeniul este B" iar celelalte traduceri sunt corecte.

[Citat] [Citat] [Citat] 6. Care din urmatoarele multimi are cel mai mare cardinal: a) R b) Multimea functiilor de la Z la Z c) Multimea functiilor de la R la {0,1} d) Multimea submultimilor finite ale lui R e) R[X] ? Notand c = card R, multimile de mai sus au in ordine cardinalul c, c, 2^c, c, c Raspuns corect c). Puteti justifica, va rog, la nivel de licenta, echipotenta multimilor de mai sus, cu exceptia celei de la c)?

Sa fiu sincer, nu prea stiu ce inseamna in acest moment "la nivel de licenta" in Romania, date fiind multitudinea de universitati, facultati, profesori, etc fiecare cu autonomia si competenta lor. Eu personal am invatat despre numere cardinale dintr-o carte de Alexandru Froda. Din pacate nu-i mai tin minte titlul si editura. Drept referinte online as recomanda

http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality_of_the_continuum

http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_arithmetic

Incerc sa schitez cateva argumente.

b) Multimea functiilor de la Z in Z are cardinalul

. Avem

e) Multimea

a polinoamelor de grad k poate fi identificata ca multime cu

(identificand polinomul cu coeficientii sai) iar cardinalul acestei multimi este

.
Din

, rezulta

d) Cum orice numar real poate fi identificat cu submultimea lui R formata din el insusi, cardinalul multimii de submultimi finite ale lui R este cel putin c. Pe de alta parte oricarei submultimi finite a lui R ii putem asocia in mod injectiv un polinom (cu acei coeficienti intr-o ordine prestabilita). Deci cardinalul cautat este cel mult cardinalul lui R[X] care am vazut mai sus ca este c.