1. Este mai mult o problema de limbaj. Eu stiam ca "onto"=surjectiv, "into"=injectiv, "one-to-one"=bijectiv. Am problema:

Fie [0,1] si (0,1). Alegeti varianta/variantele corecte:
i) There is a continuous function from (0,1) onto [0,1]
ii) There is a continuous function from [0,1] onto (0,1)
iii) There is a continuous one-to-one function from (0,1) onto [0,1].

V-as ruga sa traduceti mai intai, apoi solutia.

2. Care din urmatoarele este cea mai buna aproximatie pentru

: 1000, 2700, 3200, 4100 sau 5300?

3. Fie f si g doua functii reale care iau valori pozitive. Definim relatia f~g ca fiind comportamentul asimptotic (

). De ce, daca f~g, rezulta ca g~f, dar nu neaparat

?

4. Fie sferele

si

. Care este distanta minima dintre doua puncte, unul pe prima, unul pe a doua?

5. Fie M o matrice 5x5 cu componente reale. Din urmatoarele variante, exact 4 sunt echivalente. Gasiti "intrusul":
a) Orice doua coloane din M sunt liniar independente
b) Mx=0 are doar solutia banala
c) Mx=b are solutie unica
d) detM nu e 0.
e) M e inversabila.

6. Care din urmatoarele multimi are cel mai mare cardinal:
a) R
b) Multimea functiilor de la Z la Z
c) Multimea functiilor de la R la {0,1}
d) Multimea submultimilor finite ale lui R
e) R[X] ?

Multumesc.

Incercarile mele:

2. As face "ciobaneste", in disperare de cauza, adica as baga sub radical, ridic 266 la putere, mai inmultesc si cu 1,5 si-mi dau cu parerea despre radicalul numarului obtinut, ca oricum variantele de raspuns nu sunt apropiate intre ele, deci raspunsul n-ar fi greu de ghicit dupa ce fac calculele.

3. Nu reusesc sa gasesc un contraexemplu pentru exp(f) si exp(g) sa nu fie asimptotice, dat fiind ca f,g>0..

4. As scrie distanta dintre doua puncte cu radical si as folosi faptul ca cele doua puncte satisfac ecuatiile sferei, dar s-ar putea sa nu fie asa simplu precum pare.

5. Oscilez intre a) si c), restul imi sunt clare. Inclin sa cred ca este c), pentru ca daca M ar avea doua coloane liniar dependente, ar insemna ca are determinantul zero, nu?

6. As dori o discutie mai larga, fara prea mare incursiune in teoria multimilor, doar la nivel de licenta. Eventual, propuneti probleme asemanatoare sau luati in discutie si alte multimi care ar fi putut fi introduse intre variantele de raspuns.

Legenda: la 2 si 3, "as face"/"as scrie"=in situatie de examen, asta ar fi varianta disperata la care as apela, dar sper sa ma luminati cu solutii mai elegante sau macar mai scurte.

Din nou multumesc.

[Citat] 1. Este mai mult o problema de limbaj. Eu stiam ca "onto"=surjectiv, "into"=injectiv, "one-to-one"=bijectiv. Am problema: Fie [0,1] si (0,1). Alegeti varianta/variantele corecte: i) There is a continuous function from (0,1) onto [0,1] ii) There is a continuous function from [0,1] onto (0,1) iii) There is a continuous one-to-one function from (0,1) onto [0,1]. V-as ruga sa traduceti mai intai, apoi solutia.

Traducerile de mai sus sunt corecte.

i) este adevarata, caci exista functia f(x)=x

ii) nu este adevarata caci daca ar fi ar rezulta ca (0,1) este multime inchisa
ca imagine de multime inchisa prin functie continua

iii) nu este adevarata caci in caz contrar rezulta iar ca (0,1) este multime inchisa (considerand functia inversa)

[Citat] 2. Care din urmatoarele este cea mai buna aproximatie pentru : 1000, 2700, 3200, 4100 sau 5300?

Raspuns corect 5300.

[Citat] 4. Fie sferele si . Care este distanta minima dintre doua puncte, unul pe prima, unul pe a doua?

Indicatie: Considerand cazul mai simplu a doua cercuri in plan ne poate veni ideea. Nu este nevoie de calcule lungi, ideea este de geometrie sintetica (din ecuatii ne intereseaza doar centrul si raza).

[Citat] 5. Fie M o matrice 5x5 cu componente reale. Din urmatoarele variante, exact 4 sunt echivalente. Gasiti "intrusul": a) Orice doua coloane din M sunt liniar independente b) Mx=0 are doar solutia banala c) Mx=b are solutie unica d) detM nu e 0. e) M e inversabila.

Conditia a) este o consecinta a celorlalte, dar nu le implica. Din clasa XI stim ca b)-e) sunt echivalente.

[Citat] [Citat] 1. Este mai mult o problema de limbaj. Eu stiam ca "onto"=surjectiv, "into"=injectiv, "one-to-one"=bijectiv. Am problema: Fie [0,1] si (0,1). Alegeti varianta/variantele corecte: i) There is a continuous function from (0,1) onto [0,1] ii) There is a continuous function from [0,1] onto (0,1) iii) There is a continuous one-to-one function from (0,1) onto [0,1]. V-as ruga sa traduceti mai intai, apoi solutia. Traducerile de mai sus sunt corecte. i) este adevarata, caci exista functia f(x)=x ii) nu este adevarata caci daca ar fi ar rezulta ca (0,1) este multime inchisa ca imagine de multime inchisa prin functie continua iii) nu este adevarata caci in caz contrar rezulta iar ca (0,1) este multime inchisa (considerand functia inversa)

Imi era neclar ca daca traducerile sunt bune, la punctul iii), ar fi "o functie bijectiva de la (0,1) [...] [0,1]", unde [...]=surjectiv? Asta era ciudat. Poate era mai normal "one-to-one from ... TO ...". Sau poate prea speculez...

Multumesc pentru solutii. Ramane ultima problema.

[Citat] [Citat] [Citat] 1. Este mai mult o problema de limbaj. Eu stiam ca "onto"=surjectiv, "into"=injectiv, "one-to-one"=bijectiv. Am problema: Fie [0,1] si (0,1). Alegeti varianta/variantele corecte: i) There is a continuous function from (0,1) onto [0,1] ii) There is a continuous function from [0,1] onto (0,1) iii) There is a continuous one-to-one function from (0,1) onto [0,1]. V-as ruga sa traduceti mai intai, apoi solutia. Traducerile de mai sus sunt corecte. i) este adevarata, caci exista functia f(x)=x ii) nu este adevarata caci daca ar fi ar rezulta ca (0,1) este multime inchisa ca imagine de multime inchisa prin functie continua iii) nu este adevarata caci in caz contrar rezulta iar ca (0,1) este multime inchisa (considerand functia inversa) Imi era neclar ca daca traducerile sunt bune, la punctul iii), ar fi "o functie bijectiva de la (0,1) [...] [0,1]", unde [...]=surjectiv? Asta era ciudat. Poate era mai normal "one-to-one from ... TO ...". Sau poate prea speculez... Multumesc pentru solutii. Ramane ultima problema.

Scuze. N-am citit cu atentie. One-to-one se traduce injectiva.

[Citat] 1. Este mai mult o problema de limbaj. Eu stiam ca "onto"=surjectiv, "into"=injectiv, "one-to-one"=bijectiv. Am problema: Fie [0,1] si (0,1). Alegeti varianta/variantele corecte: i) There is a continuous function from (0,1) onto [0,1] ii) There is a continuous function from [0,1] onto (0,1) iii) There is a continuous one-to-one function from (0,1) onto [0,1]. V-as ruga sa traduceti mai intai, apoi solutia.

Deci cum se traduce problema, pana la urma, "mot-a-mot"?

[Citat] 3. Fie f si g doua functii reale care iau valori pozitive. Definim relatia f~g ca fiind comportamentul asimptotic ( ). De ce, daca f~g, rezulta ca g~f, dar nu neaparat ?

Am gasit: Fie

. Atunci f~g, dar

.

Si mai ramane problema cu cardinalitatile.

[Citat] 1. Este mai mult o problema de limbaj. Eu stiam ca "onto"=surjectiv, "into"=injectiv, "one-to-one"=bijectiv. Am problema: Fie [0,1] si (0,1). Alegeti varianta/variantele corecte: i) There is a continuous function from (0,1) onto [0,1] ii) There is a continuous function from [0,1] onto (0,1) iii) There is a continuous one-to-one function from (0,1) onto [0,1]. Deci cum se traduce problema, pana la urma, "mot-a-mot"?

i) Exista o surjectie continua de la (0,1) in [0,1]

ii) Exista o surjectie continua de la [0,1] in (0,1)

iii) Exista o bijectie continua de la (0,1) in [0,1]

[Citat] 6. Care din urmatoarele multimi are cel mai mare cardinal: a) R b) Multimea functiilor de la Z la Z c) Multimea functiilor de la R la {0,1} d) Multimea submultimilor finite ale lui R e) R[X] ?

Notand c = card R, multimile de mai sus au in ordine cardinalul

c, c, 2^c, c, c

Raspuns corect c).