Sa se dermine (eroare: eq.0/27841)\ m\in\mathbb{R} \ astfel \ incat \ : A=\{x\in\mathbb{R} | x^2-6mx+9m^2-2m+2=0\}\cap(-\infty,-3]=\varnothing
va rog sa ma ajutati cu rezolvarea detalita . Multumesc

[Citat] Sa se dermine (eroare: eq.0/27842)\ m\in\mathbb{R} \ astfel \ incat \ : A=\{x\in\mathbb{R} | x^2-6mx+9m^2-2m+2=0\}\cap(-\infty,-3]=\varnothing va rog sa ma ajutati cu rezolvarea detalita . Multumesc

Nu pot sa scriu exercitiul .... nu stiu unde gresesc ... va rog sa ajuatati(corectati ... cod Latex )Multumesc

Sa se dermine

astfel incat :

[Citat] Sa se dermine

Multumesc .

[Citat] Sa se dermine

Ma ajutati cu rezolvarea ... ..

Poate te ajuta asta...
http://www.pro-didactica.ro/probleme/rezolvare.php?rezp=3104

[Citat] Sa se dermine astfel incat

Scrierea exacta a unei probleme este intotdeauna un lucru esential.
De aceea multumesc pentru efortul de prezentare.
(In zilele noastre, prezentarea este jumate de afacere. Latex va va ajuta enorm la primele cv-uri, deoarece calitatea grafica a ceea ce se produce prin latex este superioara alternativei...)

In partea de rezolvare, de obicei oamenii se indeparteaza putin de forma exacta si incearca sa vada "cum merge problema" sau ce e de digerat la ea, de cele mai multe ori adunand o droaie de observatii, pana ce una (sau mai multe, dar oamenii se opresc la prima impresie ce ajuta) se apropie de solutie la maxim. In cazul de fata reformularea poate improprie si cateva ganduri ar fi

- cautam m astfel incat ecuatie de gradul doi in x cu parametrul real

m sa posede fie ambele radacini complexe, fie doua radacini reale care sunt mai mari strict decat -3.
- "jumate de puncte" le luam deci daca vedem pentru ce m avem radacini complexe nereale, complex conjugate.
- Discriminantul "pe jumatate" ( penntru ceva de forma a xx + 2b x + c fiind bb-ac) este in cazul nostru o functie de m

- pentru care valori ale lui m avem radacini complexe?
- ce se obtine pentru m=1? sa vedem: xx -6x +9 = 0 , o ecuatie cu ambele radacini egale cu 3. Multimea cu un element {3} taiata cu intervalul ( -oo, -3] este vida. dam de o solutie. (Intotdeauna am rugat oamenii sa calculeze doua trei cazuri particulare...)
- Care sunt solutiile ecuatiei date in functie de m. Cu "formula pe jumatate", acestea sunt direct:

- pentru m mai mare sau egal cu 1, prima este cea mai mica si ajunge sa cerem ca ea sa fie strict mai mare ca -3. Obtinem o problema pe care o putem rezolva folosind analiza matematica. Tema de casa: Sa se rezolve.
- O alta posibilitate este sa intrebam pe cineva cu ceva experienta (carti citite), daca problema se incadreaza poate in ceva "matematic cunoscut". Da, asa ceva exista,
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Descartes%27_rule_of_signs
cu o mica problema, acolo se refera la radacini >0, nu la cele >-3... Nu-i nimic, asta e o idee buna de lucru. Facem substitutia (tema de casa y=x+3 sau y=x-3? Respectiv x=y+3 sau x=y-3?) corespunzatoare si dam de o ecuatie de gradul doi in y de forma

care are solutii >0 daca si numai daca produsul lor b>0 si (pentru a evita doua radacini strict negative) daca suma lor a>0. Desigur e ceva de munca, dam de doua expresii in m (de gradul I, II acolo...) pe care trebui sa vedem cum stam cu semnul. Oricum repede terminabil... Tema de casa: sa se termina.
- O alta posibilitate in care avem mai putin de munca, este sa studiem cu metodele specifice functiei de gradul doi asociate (pentru un parametru m real fixat)

pentru ca tocmai am vazut ca Descartes ne ajuta sa vedem care este punctul de plecare... acel b>0.. Sa ne imaginam doua axe trase pe foaia de hartie. Undeva avem punctul (-3,0) facut gros pe hartie si semiaxa orizontala ce duce la -oo innegrita de asemenea. Acum ne jucam cu un U (deschis) mare, trebui sa-l plasam pe hartie cumva incat sa nu taiem semiaxa innegrita. Descartes ne spune sa ne uitam la

...
(Daca la ora sau meditatie sau aiurea "ideea" de rezolvare incepe cu "Care este valoarea functiei... in -3?" atunci acest mod de procedare nu corespunde tocmai cu proverbul japonez "Unui om sarac nu-i da un peste, ci invata-l sa pescuiasca..." Nu este un proverb intotdeauna bun, de exemplu nu-mi imaginez cu placere ca natiunea romana invata sa pescuiasca, dar nu e nici un peste prin zona, dar la drum lung este mai bine ca omul sa stie unde vrea sa ajunga.)

Asta ar trebui sa fie solutia cea mai scurta, atunci. Acea parabola care o plimbam pe foaie trebuie sa fie plasata cu un punct deasupra lui (-3,0). Acum mi-e greu sa desenez aici, dar daca obligam o parabola sa treaca prin (-3, 10), ea poate sa mai muste din semiaxa innegrita... Ce conditie evita exact acest lucru? Descartes spune sa ne uitam la suma radacinilor, 3m, punctul de abscisa a minimului functiei de gradul doi asociate, abscisa de simetrie, si sa cerem sa fie "pe dreapta", nu pe "stanga".
- Pe scurt, lucru de obicei gasit in manuale sau la meditatii "in sase" la care unul din sase sta "de sase", este ceva laconic de forma: In cazul in care exista radacini reale se rezolva:

unde f indice m este functia... de gradul doi care trebuie studiata de fapt.
- De observat ca daca facem asa, este esential sa avem de grija daca exista radacini reale sau nu. (Impartire pe cazuri.)
- Deoarece m-am fentat de multe ori cand lucrurile mi s-au parut "foarte clare", am vazut de la o vreme ca ma pot ajuta cu computerul in a verifica (vizualiza, ajutat cu calcule...) si in moment exista un soft matur destul care sa rezolve in acest sens toate problemele de liceu. Tabla acestui secol este cu cristale lichide, si am tiparit ceva de forma:

sage: f(x,m) = x^2 - 6*m*x + 9*m^2 - 2*m + 2
sage: f(-3,m)
9*m^2 + 16*m + 11
sage: solve( 9*m^2 + 16*m + 11 > 0 , m )
[m < +Infinity]
sage: solve( 3*m > -3 , m )
[[m > -1]]

Sa dam valori lui m ca sa vedem cum stau lucrurile:

m=-5. Solutiile ecuatiei $ x^{2} + 30 \, x + 237 $ sunt:
[{x: -2*I*sqrt(3) - 15}, {x: 2*I*sqrt(3) - 15}]
Explicit:
>>> -15.00000000 - 3.464101615*I
>>> -15.00000000 + 3.464101615*I

m=-4. Solutiile ecuatiei $ x^{2} + 24 \, x + 154 $ sunt:
[{x: -I*sqrt(10) - 12}, {x: I*sqrt(10) - 12}]
Explicit:
>>> -12.00000000 - 3.162277660*I
>>> -12.00000000 + 3.162277660*I

m=-3. Solutiile ecuatiei $ x^{2} + 18 \, x + 89 $ sunt:
[{x: -2*I*sqrt(2) - 9}, {x: 2*I*sqrt(2) - 9}]
Explicit:
>>> -9.000000000 - 2.828427125*I
>>> -9.000000000 + 2.828427125*I

m=-2. Solutiile ecuatiei $ x^{2} + 12 \, x + 42 $ sunt:
[{x: -I*sqrt(6) - 6}, {x: I*sqrt(6) - 6}]
Explicit:
>>> -6.000000000 - 2.449489743*I
>>> -6.000000000 + 2.449489743*I

m=-1. Solutiile ecuatiei $ x^{2} + 6 \, x + 13 $ sunt:
[{x: -2*I - 3}, {x: 2*I - 3}]
Explicit:
>>> -3.000000000 - 2.000000000*I
>>> -3.000000000 + 2.000000000*I

m=0. Solutiile ecuatiei $ x^{2} + 2 $ sunt:
[{x: -I*sqrt(2)}, {x: I*sqrt(2)}]
Explicit:
>>> -1.414213562*I
>>> 1.414213562*I

m=1. Solutiile ecuatiei $ x^{2} - 6 \, x + 9 $ sunt:
[{x: 3}]
Explicit:
>>> 3.000000000

m=2. Solutiile ecuatiei $ x^{2} - 12 \, x + 34 $ sunt:
[{x: -sqrt(2) + 6}, {x: sqrt(2) + 6}]
Explicit:
>>> 4.585786438
>>> 7.414213562

m=3. Solutiile ecuatiei $ x^{2} - 18 \, x + 77 $ sunt:
[{x: 7}, {x: 11}]
Explicit:
>>> 7.000000000
>>> 11.00000000

m=4. Solutiile ecuatiei $ x^{2} - 24 \, x + 138 $ sunt:
[{x: -sqrt(6) + 12}, {x: sqrt(6) + 12}]
Explicit:
>>> 9.550510257
>>> 14.44948974

m=5. Solutiile ecuatiei $ x^{2} - 30 \, x + 217 $ sunt:
[{x: -2*sqrt(2) + 15}, {x: 2*sqrt(2) + 15}]
Explicit:
>>> 12.17157288
>>> 17.82842712


- Stiu ca nu am rezolvat optimal problema, dar nici nu am vrut acest lucru. Mi s-a mai atras atentia ca nu rezolv la obiect, dar uneori cei ce se apuca de matematica se lasa repede de ea tocmai pentru ca este de prea multe ori la obiect. Daca sunt intrebari, de aceea, rog a fi puse din impuls direct, informal si fara ocolisuri.

Care este deci solutia "cea mai scurta"?