Revin la enuntul problemei publicata ieri, incercand sa clarific datele care se dau.
Se cunosc semiaxele (a,b) si segmentul ce sectioneaza elipsa (MN, acesta fiind paralel cu una din axe).
Doresc o formula de aflare a ariilor sectionate.

Se poate trece la coordonate polare

, in general cu

, iar pentru a ne referi exact la portiunea aceea, facem modificari la intervalul in care iau valori coordonatele de mai sus, mai precis asupra lui r.


Vezi http://civile.utcb.ro/cmat/cursrt/av25.pdf , pagina 31, exemplul 5.5.3.

Se dau deci (lungimile de) semiaxe a,b>0 si doua puncte pe elipsa (E) de ecuatie:

xx/ aa + yy / bb = 1 .

Se dau doua puncte M,N pe (E) astfel incat segmentul MN este paralel cu axa Ox.
Acestea trebuie date cumva, fie cartezian,

M( -u,v ) si N( u,v ) cu v>0 ca sa nu avem dubii

fie polar - si atunci prefer ca MN sa fie paralel cu axa Oy, dar acesta e un punct minor...

M( a cos(t) , b sin(-t) ) si
M( a cos(t) , b sin(+t) ) si pentru a nu avea dubii 0<t<pi/2

Atunci ceea ce se cere se poate exprima prin formule sub forma:

Acel Jacobian este aplicat pe functia functia de schimbare de variabila. Formal:

Matricea Jacobiana 2x2 se obtine derivand dupa cele doua variabile in functia schimbare de variabila. (Acest lucru este legea substitutiei din liceu, daca avem o singura variabila.) Pe determinantul matricii Jacobi, functia ce da schimbarea (densitatea schimbarii) elementului de suprafat, mai trebuie aplicat modulul, dar mi-a fost greu sa scriu. (Si am dat de ceva pozitiv.)

Tema de casa: Sa se deduca formula coreespunzatoare pentru cazul a=b=R la nivel de clasa a VII-a sau a IX-a. Care este solutia in acest caz? (Unghiul t este exprimat in radiani si se plimba de la 0 la pi/2.)

Nota: Cei ce dau la facultate (sau sunt la facultate) cu profil (poli)tehnic vor avea de facut teme nenumarate cu asa ceva in primul an (si mai incolo) din motiv ca exista prea multi profesori ce stiu (numai) asa ceva la matematici "speciale". Schmibarea de variabile in analiza matematica multidimensionala este un lucru important. Daca principiul schimbarii de variabile nu este inteles, trebuie sa mai "foruim"...