[Citat] 5. Fie seria . Ce se poate spune despre interiorul domeniului de convergenta: a) Este un disc deschis b) Este o regiune marginita de o elipsa c) Este o regiune marginita de un patrulater d) Este o regiune marginita de doua linii paralele e) Este un semiplan deschis.

Presupun ca ne referim la x,y numere reale. Seria data (care este de fapt seria Maclaurin a functiei

, a se vedea de exemplu
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series) este convergenta daca si numai daca

Deci raspuns corect d), interiorul regiunii de convergenta fiind cuprinsa intre dreptele paralele x+2y=-1 si x+2y=1.

[Citat] 6. In cate puncte se intersecteaza ?

Alfel spus sa se gaseasca numarul de radacini reale ale ecuatiei

. Evident x=0 nu este radacina. Vom studia cazurile:

x=-y<0.

Ecuatia se scrie y^{12}=2^{-y}, sau dupa logaritmare,

. Functia f este strict crescatoare si

. Deci ecuatia are exact o radacina negativa (despre care stim in plus ca este in intervalul (-1,0)).

x>0.

Prin logaritmare, ecuatia devine

. Studiind variatia acestei functii cu ajutorul derivatei de ordinul intai vedem ca g este strict crescatoare pe

, strict descrescatoare pe

si are un maxim global

. Cum

, ecuatia are exact cate o radacina pe fiecare din intervalele de monotonie de mai sus.

In concluzie 3 puncte de intersectie.

[Citat] 2. Fie f o functie complexa definita cu o serie de puteri in (z-a) convergenta pentru |z-a|<1 si divergenta pentru |z-a|>1. Alegeti varianta corecta: a) f(z) este analitica in discul deschis cu centrul in a b) seria de definitie pentru f(z+a) este convergenta pentru |z+a|<1 c) f'(a)=0 d) , pentru orice cerc C e) f(z) are pol de ordinul unu in z=a.

Conform definitiei, raspuns corect a). A se vedea de exemplu,
http://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_function

[Citat] [Citat] 5. Fie seria . Ce se poate spune despre interiorul domeniului de convergenta: a) Este un disc deschis b) Este o regiune marginita de o elipsa c) Este o regiune marginita de un patrulater d) Este o regiune marginita de doua linii paralele e) Este un semiplan deschis. Presupun ca ne referim la x,y numere reale. Seria data (care este de fapt seria Maclaurin a functiei , a se vedea de exemplu http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series) este convergenta daca si numai daca Deci raspuns corect d), interiorul regiunii de convergenta fiind cuprinsa intre dreptele paralele x+2y=-1 si x+2y=1.

Scuze, nu prea inteleg de ce este aceea seria de dezvoltare a -ln(1-x), adica nu stiu unde apare y, asta fiind problema mea de la inceput, ca sunt 2 variabile.

In rest, multumesc foarte mult pentru restul solutiilor.

(5)
Seria de puteri "armonica"

converge absolut pentru |z|<1, deci pentru z in intervalul deschis (-1,1). Convergenta are loc pe [-1,1).

De aceea seria data converge pentru (x,y) (?? reale??) ce verifica inegalitatea dubla ce exprima faptul ca x+2y se afla in intervalul [-1,1).

Dam de o regiune din plan marginita de dreptele x+2y =-1 si x+2y=1.
Multimea de convergenta a seriei date contine una din drepte (cea cu -1) si pe cealalata mai ba. Interiorul ei nu contine nici una si este dat de ecuatia:

-1 < x+2y <1 .

(1)
In teoria probabilitatilor se defineste notiunea de sigma-algebra F a unui "spatiu" (multime) Omega.
Este o submultime F a lui P(Omega), care este inchisa la:
- luarea complementului
- luarea reuniunii
si care contine "totul si respectiv nimic", deci (multimea vida) este in F si Omega este in F.

Date cateva submultimi ale lui Omega este o problema clasica de a compune "cea mai mica sigma-algebra" ce le contine in ea ca elemente. Ei bine, daca dam un numar finit de astfel de multimi, atunci obtinem o sigma-algebra "atomica", i.e. generata de atomi A1, A2, A3, ..., An care sunt multimi nevide, disjuncte, ce acopera Omega.

Sigma-algebra generata de atomii acestia este prin definitie

fiind multimea totala de indici. E clar ca ea are 2^n elemente.

Modul acela recursiv din problema prin care tot adaugam multimi (adaugam, deoarece si ceva de forma C intersectat cu C este posibil, deci S(i) este inclus in S(i+1)) construieste aceasta sigma-algebra F(A,B) generata de A,B in Omega=M.

Multimea vida apare destul de repede in sir, de exemplu cand intersectam A cu complementara ei.

Nu se intelege din enunt "peste ce multime se ia acel maxim". Daca M nu are decat 3 elemente si este fixat...

In fine, daca M,A,B sunt la indemana noastra, atunci problema construieste sigma-algebra cu atomii:

A \ B
B \ A
A intersectat cu B
M \ (A reunit cu B)

Tema:
Cum putem alege M si cateva submultimi A,B,C,...,Z in numar de 28 astfel incat:
M are un numar minim de elemente pentru care se atinge maximul cardinalitatii sigma-algebrei generate de A,B,C,...,Z ?

[Citat] (5) Seria de puteri "armonica" converge absolut pentru |z|<1, deci pentru z in intervalul deschis (-1,1). Convergenta are loc pe [-1,1). De aceea seria data converge pentru (x,y) (?? reale??) ce verifica inegalitatea dubla ce exprima faptul ca x+2y se afla in intervalul [-1,1). Dam de o regiune din plan marginita de dreptele x+2y =-1 si x+2y=1. Multimea de convergenta a seriei date contine una din drepte (cea cu -1) si pe cealalata mai ba. Interiorul ei nu contine nici una si este dat de ecuatia: -1 < x+2y <1 .

Am inteles acum, multumesc.