Revin cu probleme luate tot din GRE Math Test. De data aceasta nu mai dau variantele de raspuns, pentru a nu influenta rezolvitorii, dar si din comoditate Asadar:

1. Fie

. Definim inductiv multimile, pt

colectia submultimilor lui M de forma

. Daca

, cat este max(card(S))?

2. Fie f o functie complexa definita cu o serie de puteri in (z-a) convergenta pentru |z-a|<1 si divergenta pentru |z-a|>1. Alegeti varianta corecta:
a) f(z) este analitica in discul deschis cu centrul in a
b) seria de definitie pentru f(z+a) este convergenta pentru |z+a|<1
c) f'(a)=0
d)

, pentru orice cerc C
e) f(z) are pol de ordinul unu in z=a.

3. Se arunca o moneda de 8 ori. Care este probabilitatea de a obtine cap de mai multe ori decat pajura?

4. Fie schimbarea de coordonate

si v=1+y. Cu aceasta schimbare, ce devine patratul [0,1]x[0,1]?

5. Fie seria

. Ce se poate spune despre interiorul domeniului de convergenta:
a) Este un disc deschis
b) Este o regiune marginita de o elipsa
c) Este o regiune marginita de un patrulater
d) Este o regiune marginita de doua linii paralele
e) Este un semiplan deschis.

6. In cate puncte se intersecteaza

?

7. Care este ecuatia tangentei duse la

in x=0, y=pi/2?

Multumesc.

Incercarile mele:

1. Am incercat sa gasesc concret cateva multimi, ajutat si de diagrame Venn, dar mi se pare cam complicat. Adica am luat S_0={A,B}, pt S_1 am facut toate reuniunile, intersectiile si complementele posibile, adica

si deja pt S_2 trebuie sa reunesc si intersectez fiecare cu fiecare, apoi complementul relativ la M s.a.m.d. Imi pare o solutie cam laborioasa, desi ma astept ca de la un S_3,4 incolo sa nu mai creasca numarul de elemente. Daca nu aveti alta solutie in afara de asta, puteti sa nu raspundeti, pt ca pe calea aceasta cred ca o pot duce la capat.

2. Functia banuiesc ca este

. Si as zice ca varianta c) este exclusa. Mai departe nu mai stiu, nu prea ma pricep la analiza complexa, nici chiar la probleme elementare.
Intrebare suplimentara: pentru ca d) sa fie adevarata, f trebuie sa fie olomorfa in interiorul oricarui cerc, nu?

3. Aici stiu solutia, cazuri favorabile =

, iar cazuri posibile =256. Dar nelamurirea mea e conceptuala: e normal sa tratez la cazuri favorabile evenimentul propriu-zis, adica sa zic ca sunt 8 aruncari etc, iar la cazuri posibile sa iau in calcul probabilitatile lor? Adica 256 provine din faptul ca fiecare din cele 8 aruncari poate avea 2 rezultate posibile. Sunt usor confuz. Va rog rezolvati aceasta problema cu tot cu explicatii/comentarii

4. Nu stiu sa desenez in LATEX, ar fi bun si un desen de la rezolvitor. Si as vrea sa se sublinieze pasii rezolvarii, o metoda generala. Eu am incercat sa iau varfurile patratului si sa le aplic v pt a-l schimba pe y, apoi u, pentru a-l schimba pe x, dar nu semana ce am obtinut eu cu variantele. Apoi am incercat sa vad cum se schimba intervalele, adica y din [0,1], dupa aplicarea lui v, se va plimba in [1,2], iar x, dupa aplicarea lui u, in [0,2]. Deci desenul trebuie sa fie continut in dreptunghiul acesta.

5. Nu stiu..banuiesc ca are legatura cu intervalul de convergenta, un

, ceva..nici sa despart in doua serii nu pot..

6. ?

7. As dori o solutie generala, va rog, de genul: Fie z=f(x,y). Tangenta in x_0, y_0 are ecuatia...

[Citat] 1. Fie . Definim inductiv multimile, pt colectia submultimilor lui M de forma . Daca , cat este max(card(S))?

Evrika! Daca desenam diagrama Venn, cu o bila pt A, una pt B, cu ceva intersectie nevida si ambele intr-o bila mare, M, vom obtine 4 "zone", adica Y={A-B, B-A, A intersectat cu B si "restul", adica M - (A U B)}, deci S-urile vor face parte din P(Y), care are 16 elemente.

[Citat] 7. As dori o solutie generala, va rog, de genul: Fie z=f(x,y). Tangenta in x_0, y_0 are ecuatia...

Ecuatia planului tangent la suprafata

in punctul

este

[Citat] 3. Aici stiu solutia, cazuri favorabile = , iar cazuri posibile =256. Dar nelamurirea mea e conceptuala: e normal sa tratez la cazuri favorabile evenimentul propriu-zis, adica sa zic ca sunt 8 aruncari etc, iar la cazuri posibile sa iau in calcul probabilitatile lor? Adica 256 provine din faptul ca fiecare din cele 8 aruncari poate avea 2 rezultate posibile. Sunt usor confuz. Va rog rezolvati aceasta problema cu tot cu explicatii/comentarii

Abordarea este corecta. Din ce este scris mai sus nu prea inteleg care este problema conceptuala.

[Citat] 1. Fie . Definim inductiv multimile, pt colectia submultimilor lui M de forma . Daca , cat este max(card(S))?

Nu prea inteleg enuntul. Cate multimi sunt in S_1 ?

[Citat] [Citat] 1. Fie . Definim inductiv multimile, pt colectia submultimilor lui M de forma . Daca , cat este max(card(S))? Nu prea inteleg enuntul. Cate multimi sunt in S_1 ?

Pai din definitia inductiva, S_1 contine multimile A intersectat cu B, A reunit cu B, M-A si M-B...nu asa reiese? Eu asa inteleg.

[Citat] [Citat] 3. Aici stiu solutia, cazuri favorabile = , iar cazuri posibile =256. Dar nelamurirea mea e conceptuala: e normal sa tratez la cazuri favorabile evenimentul propriu-zis, adica sa zic ca sunt 8 aruncari etc, iar la cazuri posibile sa iau in calcul probabilitatile lor? Adica 256 provine din faptul ca fiecare din cele 8 aruncari poate avea 2 rezultate posibile. Sunt usor confuz. Va rog rezolvati aceasta problema cu tot cu explicatii/comentarii Abordarea este corecta. Din ce este scris mai sus nu prea inteleg care este problema conceptuala.

Lasati asa, cred ca incep sa ma lamuresc...

Problemele 4,5,6, va rog...

[Citat] [Citat] 1. Fie . Definim inductiv multimile, pt colectia submultimilor lui M de forma . Daca , cat este max(card(S))? Evrika! Daca desenam diagrama Venn, cu o bila pt A, una pt B, cu ceva intersectie nevida si ambele intr-o bila mare, M, vom obtine 4 "zone", adica Y={A-B, B-A, A intersectat cu B si "restul", adica M - (A U B)}, deci S-urile vor face parte din P(Y), care are 16 elemente.

Intr-adevar S=S_3 care are 16 elemente.

[Citat] 4. Fie schimbarea de coordonate si v=1+y. Cu aceasta schimbare, ce devine patratul [0,1]x[0,1]?

Avem

. Conditiile

revin la

care in planul de variabile uv este un paralelogram. Ar mai trebui mentionat ca intre (x,y) si (u,v) este o corespondenta bijectiva, deci se obtine intregul paralelogram.