Pe intervalul

Luam g(x)=1/2oriln1+x/1-x

Daca

si raspunsul indica doar

.

Sa studiem atunci impreuna urmatoarea compunere de aplicatii care sunt in mod "evident" izo-uri de grupuri abeliene:

Pe ( 0, oo ) operatia este inmultirea obisnuita de numere reale.
Pe cele doua IR-uri operatia este adunarea obisnuita de numere reale.
Pe (-1,1) operatia este acel * din enunt.

a este un parametru real nenul, G fiind functia liniara de inmultire cu a. Aceasta este unica posibilitate de "variatie continua" a structurii de grup de pe IR. In definitiv problema cere implicit gasirea tuturor izomorfismelor de grupuri...

Aplicatia H este versiunea hiperbolica a tangentei, deoarece legea data * nu este tocmai cea ce "implementeaza formula pentru tan(a+b) ca functie de tan(a) si tan(b)" (care este aceasta formula?), ci pe cea in care intotdeauna cand ne uitam unde apare un sinus mai adaugam un i...

Tema de casa: A se demonstra cu mana:

pentru orice u in IR.

Problema cu a general (deci G general) este mai urata. Sa vedem insa de ce dam pentru a=1... Atunci

Rezolvand dependenta

inapoi in s dam de un izomorfism posibil...

Intamplator avem....

sage: g(x) = sqrt( (1+x) / (1-x) )
sage: g(0)
1
sage: diff(g,x)(0)
1
sage: g(1/2)
sqrt(3)
sage: g( (x+y)/(1+x*y) ) . factor()
sqrt((y + 1)*(x + 1)/((y - 1)*(x - 1)))

Tema de casa: Sa se compare cu mana g(x*y) cu g(x)g(y).