Sa se rezolve in numere intregi ecuatia

[Citat] Sa se rezolve in numere intregi ecuatia

Exercitiu standard, nu prea merge de "Problema saptamanii".

[Citat] [Citat] Sa se rezolve in numere intregi ecuatia Exercitiu standard, nu prea merge de "Problema saptamanii".

La cereri de probleme nu am pus problema pentru ca stiu sa rezolv acest tip de ecuatie.Am pus aceasta problema aici pentru ca vreau sa vad ce solutii se vor da altele decat cea pe care o am eu.

[Citat] Sa se rezolve in numere intregi ecuatia

Alegem numarul z intreg arbitrar.
Alegem numarul y intreg astfel incat y-z-2 sa fie divizibil cu trei, lucru suficient si necesar pentru a da curand de solutie, daca trecem la resturi modulo trei in ecuatia data. Echivalent, ne uitam la z+2 modulo 3 ca element in multimea 0,1,2 si luam y-ul sa difere de acest numar printr-un multiplu de trei. Sau altfel echivalent, ne dam un n arbitrar si cerem y = z+2+3n. Atunci x-ul obtinut din ecuatia data unic in numere rationale este chiar intreg si obtinem o forma generala a unei soultii parametrizata de doi intregi alesi liber:

Post-editare: In loc de

avem desigur

. La postarea initiala am omis acest 7 in dreptul lui n... Cer scuze!
Observatie: Orice alta scriere "de acest fel" (adica cu m', n' in loc de m,n si cu alte expresii de gradul unu (i.e. afine) in cele doua variabile libere din ZZ) se obtine printr-o transformare afina a planului intreg implementata de ceva de forma

deci unde a,b,c,d sunt intrarile intregi ale unei matrici inversabile de determinant 1 sau -1 si desigur unde m0, n0 sunt fixati in ZZ.

[Citat] [Citat] Sa se rezolve in numere intregi ecuatia Alegem numarul z intreg arbitrar. Alegem numarul y intreg astfel incat y-z-2 sa fie divizibil cu trei, lucru suficient si necesar pentru a da curand de solutie, daca trecem la resturi modulo trei in ecuatia data. Echivalent, ne uitam la z+2 modulo 3 ca element in multimea 0,1,2 si luam y-ul sa difere de acest numar printr-un multiplu de trei. Sau altfel echivalent, ne dam un n arbitrar si cerem y = z+2+3n. Atunci x-ul obtinut din ecuatia data unic in numere rationale este chiar intreg si obtinem o forma generala a unei soultii parametrizata de doi intregi alesi liber:

Eu am gasit solutii de forma

si

dar nu stiu daca sunt toate solutiile acestei ecuatii.De exemplu pentru ce valori ale lui m si n ale solutiilor Dvs. putem obtine

Se pare ca am gresit mai sus la calcule si trebuie sa ma corectez candva.

Valoarea pentru x este desigur

.
Solutia generala trebuie sa fie - in conformitate cu teoria generala a ecuatiilor diofantiene afine - in orice caz ceva cu doi parametrii. Mai sus vad doar unul, x-ul se misca liber - sa zicem x=k. Luand

in

dam de

sage: m = k+22
sage: n = -k-7
sage:
sage: x = -6*m-7*n+83
sage: y = m+3*n+2
sage: z = m
sage:
sage: x
k
sage: y
-2*k + 3
sage: z
k + 22

Pentru k=2 dam atunci si de solutia particulara. Mersi de indreptare!

Eu am considerat ca solutiile trebuie sa fie de forma

respectiv

.Introducand in ecuatia initiala obtinem o ecuatie in x cu parametrii a,b,c,d si dand valori pentru x -1,0,1,2 rezulta valorile parametrilor.Nu inteleg de ce trebuie neaparat exprimarea in functie de doi parametri.In solutiile Dvs. de fapt m nu este un parametru ci chiar necunoscuta z.In cazul solutiilor mele x este unic parametru atat pentru y cat si pentru z.Oare nu cumva as putea gasi valori ale lui m si n astfel incat solutiile Dvs. sa fie o particularizare a solutiilor mele?Care din solutii reprezinta toate valorile lui x,y,z care verifica ecuatia initiala?Daca am avea o ecuatie diofantica cu n necunoscute atunci valorile necunoscutelor de cati parametri ar depinde?Mai studiez.

Observatie:
Pentru ca solutiile Dvs. si a mele sa fie aceleasi e necesar ca

.

[Citat] Eu am considerat ca solutiile trebuie sa fie de forma respectiv .Introducand in ecuatia initiala obtinem o ecuatie in x cu parametrii a,b,c,d si dand valori pentru x -1,0,1,2 rezulta valorile parametrilor.Nu inteleg de ce trebuie neaparat exprimarea in functie de doi parametri.In solutiile Dvs. de fapt m nu este un parametru ci chiar necunoscuta z.In cazul solutiilor mele x este unic parametru atat pentru y cat si pentru z.Oare nu cumva as putea gasi valori ale lui m si n astfel incat solutiile Dvs. sa fie o particularizare a solutiilor mele?Care din solutii reprezinta toate valorile lui x,y,z care verifica ecuatia initiala?Daca am avea o ecuatie diofantica cu n necunoscute atunci valorile necunoscutelor de cati parametri ar depinde?Mai studiez.

De ce este x unic parametru? Cu ce este x un parametru mai bun decat z?

Incerc sa inteleg o problema asemanatoare:

Care sunt solutiile in numere intregi ale ecuatiei afine:

Eu am deja o solutie, anume x=-3z+14 si y=2z-13...

Cum sa fac incat in reprezentarea geometrica a planului (P) : x+y+z=1 cu x,y,z reale, restrangandu-ma la punctele lui laticiale, sa arat ca de fapt toate aceste puncte laticiale se afla pe dreapta (D) : (x-14)/(-3) = (y+13)/2 = (z-0)/1 ?

[Citat] [Citat] Eu am considerat ca solutiile trebuie sa fie de forma respectiv .Introducand in ecuatia initiala obtinem o ecuatie in x cu parametrii a,b,c,d si dand valori pentru x -1,0,1,2 rezulta valorile parametrilor.Nu inteleg de ce trebuie neaparat exprimarea in functie de doi parametri.In solutiile Dvs. de fapt m nu este un parametru ci chiar necunoscuta z.In cazul solutiilor mele x este unic parametru atat pentru y cat si pentru z.Oare nu cumva as putea gasi valori ale lui m si n astfel incat solutiile Dvs. sa fie o particularizare a solutiilor mele?Care din solutii reprezinta toate valorile lui x,y,z care verifica ecuatia initiala?Daca am avea o ecuatie diofantica cu n necunoscute atunci valorile necunoscutelor de cati parametri ar depinde?Mai studiez. De ce este x unic parametru? Cu ce este x un parametru mai bun decat z?

Eu cred ca nu are nicio importanta ce parametru folosim dar eu nu vad de ce trebuie neaparat sa fie doi parametri.Nu am putea considera ca solutiile sunt de forma x=an+b , y=cn+d , z=en+f unde a,b,c,d,e,f sunt numere intregi care trebuiesc gasite considerand diverse valori intregi pentru n?