Ma pregatesc pentru testul Graduate Record Examination la matematica si am cateva nelamuriri, daca ma puteti ajuta, va rog. Cer scuze dinainte pentru ca subiectul contine mai multe probleme, dar sunt luate din aceeasi sursa, de aceea nu am creat mai multe subiecte. Asadar:

1. Fie f o functie definita pe multimea intregilor a.i.

. Dandu-se variantele:
i) graficul lui f este o submultime a unei linii ( "subset of a line" )
ii) f este strict crescatoare
iii) f este constanta,
care sunt adevarate:
A. Niciuna
B. i)
C. ii)
D. i) si ii)
E. i) si iii)


2. Daca A si B sunt 2 evenimente cu probabilitatile verificand

, atunci care e FALSA:
A. A si B sunt independente
B. A e submultime proprie a lui B
C. A si B disjuncte
D.

E.

3. Fie f o functie definita pe [0,1]. Stiind ca exista k>0 a.i.

, atunci:
A. f e discontinua pe (0,1)
B. f nu e discontinua pe tot (0,1), ci doar intr-un numar numarabil de puncte
C. f e continua pe (0,1), dar derivabila intr-un numar numarabil de puncte
D. f e continua pe (0,1), dar poate sa nu fie derivabila pe (0,1)
E. f e derivabila pe tot (0,1)

4. Calculati

.

5. Care este valoarea maxima a lui b astfel incat o functie care indeplineste urmatoarele 3 conditii sa indeplineasca si f(1)<5:
i) f indefinit derivabila pe multimea numerelor reale
ii) f(0)=1, f'(0)=1, f''(0)=2
iii) |f'''(x)|<b, pentru toti x in (0,1)

A. 1
B. 2
C. 6
D. 12
E. 24

6. Fie f,g doua functii a.i. f'(x)>g'(x), pentru toti x in [0,1]. Atunci:
A. f(0)>=g(0)
B. f(1) >= g(1)
C. f(1)-g(1) >= f(0)-g(0)
D. f-g nu are minime in (0,1)
E. f/g nu e descrescatoare pe [0,1].

7. Daca p si q sunt doua numere prime, alegeti exact 3 elemente din urmatoarele care sigur sunt intr-un subgrup al lui Z: p, p+q, pq, p^q, q^p.

8. Fie un oras cu strazi ca o foaie de matematica (Manhattan-ul parca are asa ceva..) Stiind ca de la Primarie la Politie se merge 5 "patratele" la dreapta si 7 in jos (pe o latura a patratelelor, desigur), in cate moduri se poate ajunge de la Primarie la Politie traversand exact 12 patratele?

9. Fie n un numar intreg si

. Care din urmatoarele afirmatii sunt adevarate:
i) exista un x_i patrat perfect
ii) exista i a.i.

iii) exista un x_i prim
Variantele sunt de genul: i), i) si ii), niciuna, toate etc.
Multumesc.

Incercarile mele:

1. f(x)=1 merge, deci as fi zis E, dar cum nu e neaparat singura care merge, cred ca este B.

2. Stiu ca daca A si B sunt independente, atunci P(A si B)=P(A)P(B) si atunci, inlocuind in ecuatie, ne da ca P(A)=P(B)=0 sau 1, fals, deci as zice ca falsa este A.

3. Aceasta proprietate spune ca f este marginita, nu? f(x)=c, constanta, satisface inegalitatea si are proprietatea E.

4. Sunt tentat sa scot 1/n^2 in fata si atunci va fi 3/n^3 * suma si intuiesc raspunsul 0, dat fiind numitorul.

5. ?

6. Conditia ar insemna ca "f e mai crescatoare decat g" (scuzati expresia) si cum nu se stie de unde pleaca, macar stiu sigur ca f ajunge mai sus decat g, deci as zice B.

7. Daca p e acolo, atunci este si pq si p^q, care este chiar raspunsul corect, dar de unde stiu ca nu mai exista si alte variante?

8. Daca luam un dreptunghi pe foaia de mate cu L=7 patratele si l=5 patratele, al carui semiperimetru este chiar drumul Politie-Primarie. Sunt tentat sa cred ca posibilitatile sunt in numar de 7*5=35, gandindu-ma la drumurile din interiorul dreptunghiului, dar se pare ca nu e bine, ca pot sa mai fie si drumuri aiurea, care merg ba in sus, ba in jos etc...?

9. Un patrat perfect sigur e acolo, 1, iar daca n>1, avem si numere prime, macar unul, 2, dar in orice caz, as zice ca i) este adevarata. Culmea ca raspunsul corect este doar ii).

Multumesc si promit sa nu mai vin cu atatea probleme odata .

[Citat] Incercarile mele: 1. f(x)=1 merge, deci as fi zis E, dar cum nu e neaparat singura care merge, cred ca este B.

Indicatie: Scriem relatia f(x+1)-f(x)=f(x)-f(x-1) si ne vine in minte progresia artimetica.

[Citat] Incercarile mele: 2. Stiu ca daca A si B sunt independente, atunci P(A si B)=P(A)P(B) si atunci, inlocuind in ecuatie, ne da ca P(A)=P(B)=0 sau 1, fals, deci as zice ca falsa este A.

Corect.

[Citat] 3. Fie f o functie definita pe [0,1]. Stiind ca exista k>0 a.i. , atunci: A. f e discontinua pe (0,1) B. f nu e discontinua pe tot (0,1), ci doar intr-un numar numarabil de puncte C. f e continua pe (0,1), dar derivabila intr-un numar numarabil de puncte D. f e continua pe (0,1), dar poate sa nu fie derivabila pe (0,1) E. f e derivabila pe tot (0,1)

Nu lipseste cumva un modul in stanga inegalitatii?

[Citat] 4. Sunt tentat sa scot 1/n^2 in fata si atunci va fi 3/n^3 * suma si intuiesc raspunsul 0, dat fiind numitorul.

Indicatii: Acea suma din interorul limitei se poate calcula. Sau ne gandim la o suma Riemann.

[Citat] [Citat] 3. Fie f o functie definita pe [0,1]. Stiind ca exista k>0 a.i. , atunci: A. f e discontinua pe (0,1) B. f nu e discontinua pe tot (0,1), ci doar intr-un numar numarabil de puncte C. f e continua pe (0,1), dar derivabila intr-un numar numarabil de puncte D. f e continua pe (0,1), dar poate sa nu fie derivabila pe (0,1) E. f e derivabila pe tot (0,1) Nu lipseste cumva un modul in stanga inegalitatii?

Nu. Stiu ca relatia de marginire contine unul, dar aici nu este.

[Citat] [Citat] 4. Sunt tentat sa scot 1/n^2 in fata si atunci va fi 3/n^3 * suma si intuiesc raspunsul 0, dat fiind numitorul. Indicatii: Acea suma din interorul limitei se poate calcula. Sau ne gandim la o suma Riemann.

Aratati-mi, va rog, metoda cu suma Riemann.

Multumesc.

[Citat] [Citat] [Citat] 4. Sunt tentat sa scot 1/n^2 in fata si atunci va fi 3/n^3 * suma si intuiesc raspunsul 0, dat fiind numitorul. Indicatii: Acea suma din interorul limitei se poate calcula. Sau ne gandim la o suma Riemann. Aratati-mi, va rog, metoda cu suma Riemann. Multumesc.

Avem intervalul [0,3] cu diviziunea

. Luam ca puncte intermediare

si atunci limita din enunt este

5. Raspuns: 12
Folosim Taylor

6. Raspuns:D
Conditia se scrie

deci functia

e strict crescatoare pe (0,1), asadar nu are puncte de extrem pe acest interval.